Getallenrijen oplossen

Getallenrijen worden in allerlei logische tests gebruikt. Je krijgt een rij getallen en jouw taak is om achter de rij het getal in te vullen dat logisch zou moeten volgen. In dit artikel laten we zien hoe je zulke getallenrijen oplost.

Opgave

Een klassieke opgave over getallenrijen ziet er zo uit:

$$2,4,6,8,10,?$$

Jouw taak is het getal te vinden dat je op de plaats van het vraagteken kunt invullen, zodat het zo logisch mogelijk is. Je moet dus een kenmerkend verband tussen de gegeven getallen vinden en daarmee het ontbrekende getal berekenen. In dit geval is de uitkomst het getal 12, omdat elk getal in de rij steeds 2 groter is dan het vorige.

De oplossing is niet altijd eenduidig. Je kunt zeggen dat we op de plaats van het vraagteken elk getal mogen invullen, als we die keuze kunnen verdedigen.

Optellen en vermenigvuldigen

Tot de eenvoudigste rijen horen die waarin steeds hetzelfde getal wordt opgeteld. Voorbeelden:

$$3,10,17,24,?$$

Hier wordt steeds 7 opgeteld, dus op de plaats van het vraagteken staat 31. Een ander voorbeeld:

$$-8,-5,-2,1,?$$

We tellen steeds 3 op, het volgende getal in de rij is 4. Een ander voorbeeld:

$$17,8,-1,-10,?$$

In deze rij tellen we −9 op, oftewel we trekken 9 af. Het volgende getal in de rij is −19. Een ander voorbeeld:

$$2,4,8,16,?$$

Hier tellen we niet op, maar vermenigvuldigen we. Het getal is steeds twee keer zo groot als het vorige, dus de uitkomst is 32. Een ander voorbeeld:

$$27,9,3,1,?$$

In deze rij delen we juist, door drie. De uitkomst is $\frac{1}{3}$. We kunnen ook een getal optellen dat niet constant is:

$$2,4,7,9,12,?$$

We wisselen het optellen van +2 en +3 af. Dus bij 2 tellen we +2 op en we krijgen 4. Dan tellen we +3 op en we hebben 7. Enzovoort. Bij 12 tellen we 2 op en we hebben 14. Een ander voorbeeld:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

In deze rij tellen we steeds een getal op dat één hoger is dan in de vorige stap, te beginnen bij +1. Dus 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 enzovoort. Tot slot tellen we 6 op, dus de uitkomst is 20 + 6 = 26. Een ander voorbeeld:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

We wisselen het vermenigvuldigen met twee en met drie af. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 enzovoort. Tot slot vermenigvuldigen we met drie, dus de uitkomst is 216.

Afwisselende bewerkingen

Rijen en bewerkingen kunnen we verder combineren. Zo kunnen we de ene keer optellen en de andere keer vermenigvuldigen:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Hier vermenigvuldigen we eerst met vier en in de volgende stap tellen we twee op. Dus: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, enzovoort. Tot slot tellen we twee op, dus de uitkomst is 234. Een soortgelijk voorbeeld:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Eerst vermenigvuldigen we met drie, daarna trekken we vier af. Dus: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 enzovoort. Tot slot vermenigvuldigen we met drie, de uitkomst is 87.

We kunnen rijen ook zo combineren dat er in één rij eigenlijk twee zitten, die elk hun eigen kenmerkende eigenschap hebben. Voorbeeld:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Op de oneven plaatsen staat de bekende rij 2, 4, 8, 16, 32, dus het getal is steeds het dubbele van het vorige getal, en op de even plaatsen staat de rij 1, 6, 11, 16, ?. Dat is een rij waarin steeds alleen vijf wordt opgeteld. De uitkomst is dus het getal 16 + 5 = 21. Nog een voorbeeld:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

In deze rij vinden we twee deelrijen. Op de oneven plaatsen staat 2, 3, 5, 8, 12, een rij waarin we steeds een getal optellen dat één groter is dan in de vorige stap. En op de even plaatsen staat: 7, 11, 15, 19, ?. Daar tellen we dus steeds vier op. De uitkomst is 23.

Klassieke rijen

Er zijn enkele klassieke rijen die het vermelden waard zijn. We beginnen:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — de rij van de kwadraten van de natuurlijke getallen. Anders geschreven: 1², 2², 3², 4², 5², … Als je in een rij een van deze getallen ziet, vooral van de grotere, is er een goede kans dat het kwadraat daar een rol speelt.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — dit is de bekende rij van Fibonacci. Elk getal is gedefinieerd als de som van de twee vorige getallen. Dus van achteren naar voren: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 enzovoort. De eerste twee getallen, nul en één, liggen vast.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — de rij van de priemgetallen. Let er alleen op dat één geen priemgetal is.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — de rij van de faculteiten. Het getal op de n-de plaats is gegeven door het product 1 · 2 · 3 · … · n. Op de vierde plaats staat bijvoorbeeld het getal 24, en dat is 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Andere soorten rijen

Voorbeeld:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

De oplossing is dat als we de getallen op de eerste en de tweede plaats optellen, we het getal twintig krijgen: 17 + 3 = 20. Hetzelfde geldt voor de volgende paren: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Op de plaats van het vraagteken moet dus een één staan. Een ander voorbeeld:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

In deze rij verdelen we de getallen in drietallen a, b, c, waarbij geldt a + b = c. Dus ?+7 = 12 en 4 + 5 = 9. Op de plaats van het vraagteken hoort dus 5. Een ander voorbeeld:

$$2,4,10,28,?$$

Hier hebben we twee bewerkingen gecombineerd: vermenigvuldigen en aftrekken. Het volgende getal krijgen we door het vorige met drie te vermenigvuldigen en er nog twee van af te trekken. We hebben dus: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Het volgende getal in de rij is 28 · 3 − 2 = 82.