Come risolvere le serie numeriche

Le serie numeriche (in matematica si parlerebbe più propriamente di successioni) compaiono in moltissimi test di logica. Ti viene data una sequenza di numeri e il tuo compito è completarla con il numero che dovrebbe seguire in modo logico. In questo articolo vediamo come si risolvono.

Il testo

Il testo classico di un esercizio sulle serie numeriche è questo:

$$2,4,6,8,10,?$$

Il tuo compito è trovare il numero che puoi mettere al posto del punto interrogativo nel modo più sensato possibile. Devi quindi individuare una proprietà caratteristica dei numeri assegnati e usarla per calcolare il numero mancante. In questo caso il risultato è 12, perché ogni numero della successione supera sempre di 2 il precedente.

La soluzione non è sempre univoca. In un certo senso al posto del punto interrogativo si può mettere un numero qualsiasi, purché si sappia giustificare la scelta.

Addizione e moltiplicazione

Tra le successioni più semplici ci sono quelle in cui si aggiunge sempre lo stesso numero. Esempi:

$$3,10,17,24,?$$

Qui si aggiunge sempre 7, quindi al posto del punto interrogativo va 31. Un altro esempio:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Aggiungiamo sempre 3, il numero successivo è 4. Un altro esempio:

$$17,8,-1,-10,?$$

In questa successione aggiungiamo −9, cioè sottraiamo 9. Il numero successivo è −19. Un altro esempio:

$$2,4,8,16,?$$

Qui non sommiamo più, ma moltiplichiamo. Ogni numero è il doppio del precedente, quindi il risultato è 32. Un altro esempio:

$$27,9,3,1,?$$

In questa successione, al contrario, dividiamo per tre. Il risultato è $\frac{1}{3}$. Possiamo anche aggiungere un numero non costante:

$$2,4,7,9,12,?$$

Alterniamo +2 e +3. Quindi a 2 aggiungiamo +2 e otteniamo 4. Poi aggiungiamo +3 e abbiamo 7. Eccetera. A 12 aggiungiamo 2 e otteniamo 14. Un altro esempio:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

In questa successione aggiungiamo ogni volta un numero maggiore di uno rispetto a quello del passaggio precedente, partendo da +1. Quindi 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 eccetera. Alla fine aggiungiamo 6, quindi il risultato è 20 + 6 = 26. Un altro esempio:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Alterniamo la moltiplicazione per due e per tre. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 eccetera. Alla fine moltiplichiamo per tre, quindi il risultato è 216.

Successioni alternate

Possiamo inoltre combinare successioni e operazioni. Una volta possiamo usare l’addizione e la volta dopo la moltiplicazione:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Qui prima moltiplichiamo per quattro e al passaggio successivo aggiungiamo due. Quindi: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 eccetera. Alla fine aggiungiamo due, quindi il risultato è 234. Un esempio simile:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Prima moltiplichiamo per tre, poi sottraiamo quattro. Quindi: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 eccetera. Alla fine moltiplichiamo per tre, il risultato è 87.

Possiamo anche combinare le successioni in modo che in una sola ce ne siano in realtà due, ciascuna con la propria regola. Esempio:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Nelle posizioni dispari abbiamo la successione nota 2, 4, 8, 16, 32, cioè ogni numero è il doppio del precedente, e nelle posizioni pari abbiamo la successione 1, 6, 11, 16, ?. È una successione in cui si aggiunge sempre cinque. Il risultato è quindi 16 + 5 = 21. Ancora un esempio:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

In questa successione possiamo trovare due sottosuccessioni. Nelle posizioni dispari abbiamo 2, 3, 5, 8, 12, una successione in cui si aggiunge ogni volta un numero maggiore di uno rispetto a quello del passaggio precedente. Nelle posizioni pari abbiamo: 7, 11, 15, 19, ?. Qui si aggiunge semplicemente quattro. Il risultato è 23.

Successioni classiche

Esistono alcune successioni classiche che vale la pena ricordare. Cominciamo:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — la successione dei quadrati dei numeri naturali. Scritta in un altro modo: 1², 2², 3², 4², 5², … Se in una successione vedi alcuni di questi numeri, soprattutto tra i più grandi, c’è una buona probabilità che entri in gioco proprio il quadrato.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — questa è la famosa successione di Fibonacci. Ogni numero è definito come la somma dei due precedenti. Quindi, procedendo a ritroso: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 eccetera. I primi due numeri, zero e uno, sono fissati.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — la successione dei numeri primi. Attenzione solo al fatto che l’uno non è un numero primo.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — la successione dei fattoriali. Il numero in posizione n è dato dal prodotto 1 · 2 · 3 · … · n. Per esempio, in quarta posizione c’è il numero 24, che è 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Altri tipi di successioni

Esempio:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

La soluzione è che, se sommiamo i numeri al primo e al secondo posto, otteniamo venti: 17 + 3 = 20. Lo stesso vale per le coppie seguenti: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Al posto del punto interrogativo deve quindi andare uno. Un altro esempio:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

In questa successione dividiamo i numeri in terne a, b, c, dove vale a + b = c. Quindi ?+7 = 12 e 4 + 5 = 9. Al posto del punto interrogativo va quindi 5. Un altro esempio:

$$2,4,10,28,?$$

Qui abbiamo unito due operazioni: la moltiplicazione e la sottrazione. Il numero successivo si ottiene moltiplicando per tre il precedente e sottraendo poi due. Abbiamo quindi: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Il numero successivo è 28 · 3 − 2 = 82.