Slik løser du tallrekker

Tallrekker brukes i alle slags logiske tester. Du får oppgitt en følge av noen tall, og oppgaven din er å fylle inn tallet som logisk bør komme etter rekken. I denne artikkelen skal vi se hvordan vi løser slike tallrekker.

Oppgaven

En klassisk oppgave om tallrekker ser slik ut:

$$2,4,6,8,10,?$$

Oppgaven din er å finne tallet du kan sette inn i stedet for spørsmålstegnet, slik at det gir mest mulig mening. Du må altså finne en karakteristisk egenskap mellom de oppgitte tallene og bruke den til å regne ut tallet som mangler. I dette tilfellet blir svaret tallet 12, fordi hvert tall i rekken alltid er 2 større enn det forrige.

Løsningen er ikke alltid entydig. Vi kan si at vi kan sette inn hvilket som helst tall i stedet for spørsmålstegnet, hvis vi klarer å forsvare valget.

Addisjon og multiplikasjon

Blant de enkleste rekkene er de der vi bare legger til et tall. Eksempler:

$$3,10,17,24,?$$

Her legger vi alltid til 7, så det som står i stedet for spørsmålstegnet, er 31. Et nytt eksempel:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Vi legger alltid til 3, og det neste tallet i rekken blir 4. Et nytt eksempel:

$$17,8,-1,-10,?$$

I denne rekken legger vi til −9, altså trekker vi fra 9. Det neste i rekken blir −19. Et nytt eksempel:

$$2,4,8,16,?$$

Her legger vi ikke til, men multipliserer. Tallet er alltid dobbelt så stort som det forrige, så svaret blir 32. Et nytt eksempel:

$$27,9,3,1,?$$

I denne rekken dividerer vi derimot, med tre. Svaret blir $\frac{1}{3}$. Vi kan også legge til et tall som ikke er konstant:

$$2,4,7,9,12,?$$

Vi veksler mellom å legge til +2 og +3. Altså legger vi til +2 til 2 og får 4. Så legger vi til +3 og har 7. Og så videre. Til 12 legger vi 2 og har 14. Et nytt eksempel:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

I denne rekken legger vi alltid til ett tall mer enn i det forrige steget, og vi begynner med +1. Altså 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 og så videre. Til slutt legger vi til 6, så svaret er 20 + 6 = 26. Et nytt eksempel:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Vi veksler mellom å multiplisere med to og med tre. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 og så videre. Til slutt multipliserer vi med tre, så svaret er 216.

Vekslende rekker

Rekker og operasjoner kan vi videre kombinere. Vi kan bruke addisjon én gang og multiplikasjon neste gang:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Her multipliserer vi først med fire, og i neste steg legger vi til to. Altså: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, og så videre. Til slutt legger vi til to, så svaret er 234. Et lignende eksempel:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Først multipliserer vi med tre, og deretter trekker vi fra fire. Så: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 og så videre. Til slutt multipliserer vi med tre, og svaret er 87.

Vi kan kombinere rekker slik at det i én rekke egentlig er to, som hver har sin egen karakteristiske egenskap. Eksempel:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

På oddetallsplassene har vi den kjente rekken 2, 4, 8, 16, 32, altså er tallet alltid det doble av det forrige tallet, og på partallsplassene har vi følgen 1, 6, 11, 16, ?. Det er en rekke der vi alltid bare legger til fem. Svaret er dermed tallet 16 + 5 = 21. Enda et eksempel:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

I denne rekken kan vi finne to delrekker. På oddetallsplassene har vi 2, 3, 5, 8, 12, som er en rekke der vi alltid legger til ett tall mer enn i det forrige steget. Og på partallsplassene har vi: 7, 11, 15, 19, ?. Her legger vi bare til fire. Svaret er 23.

Klassiske rekker

Det finnes noen klassiske rekker som er verdt å nevne. Vi begynner:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — følgen av kvadrater av de naturlige tallene. Skrevet på en annen måte: 1², 2², 3², 4², 5², … Hvis du ser noen av disse tallene i en følge, særlig av de større, er det en god sjanse for at det er akkurat andrepotensen som spiller inn.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — dette er den kjente Fibonacci-følgen. Hvert tall er definert som summen av de to foregående tallene. Altså bakfra: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 og så videre. De to første tallene, null og én, er fastsatt.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — følgen av primtall. Pass bare på at én ikke er et primtall.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — følgen av fakulteter. Tallet på plass nummer n er gitt ved produktet 1 · 2 · 3 · … · n. For eksempel står tallet 24 på fjerde plass, og det er 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Flere typer rekker

Eksempel:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Løsningen er at hvis vi legger sammen tallene på første og andre plass, får vi tallet tjue: 17 + 3 = 20. Det samme gjelder for de neste parene: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. I stedet for spørsmålstegnet skal det altså stå én. Et nytt eksempel:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

I denne følgen deler vi tallene inn i tripler a, b, c, der det gjelder at a + b = c. Så ?+7 = 12 og 4 + 5 = 9. Der spørsmålstegnet står, hører altså 5 hjemme. Et nytt eksempel:

$$2,4,10,28,?$$

Her har vi kombinert to operasjoner: multiplikasjon og subtraksjon. Det neste tallet får vi ved å multiplisere det forrige med tre og trekke fra to til. Så vi har: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Det neste i rekken er 28 · 3 − 2 = 82.