Como resolver sequências numéricas

As sequências numéricas são usadas nos mais variados testes de raciocínio lógico. Você recebe uma sequência de alguns números e a sua tarefa é completá-la com o número que logicamente deveria vir a seguir. Neste artigo, vamos mostrar como resolver essas sequências numéricas.

Enunciado

O enunciado clássico de um exercício de sequências numéricas é assim:

$$2,4,6,8,10,?$$

A sua tarefa é encontrar o número que pode ser colocado no lugar do ponto de interrogação para que faça o maior sentido possível. Você precisa, portanto, encontrar alguma propriedade característica entre os números dados e, com ela, calcular o número que falta. Neste caso, o resultado será o número 12, porque cada número da sequência é sempre 2 unidades maior que o anterior.

A solução nem sempre é única. Pode-se dizer que no lugar do ponto de interrogação podemos colocar qualquer número, desde que consigamos defender essa escolha.

Adição e multiplicação

Entre as sequências mais simples estão aquelas em que apenas se soma um número. Exemplos:

$$3,10,17,24,?$$

Aqui se soma sempre 7, então no lugar do ponto de interrogação ficará 31. Outro exemplo:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Somamos sempre 3, o próximo número da sequência será 4. Outro exemplo:

$$17,8,-1,-10,?$$

Nesta sequência somamos −9, ou seja, subtraímos 9. O próximo da sequência será −19. Outro exemplo:

$$2,4,8,16,?$$

Aqui já não somamos, mas multiplicamos. O número é sempre o dobro do anterior, então o resultado será 32. Outro exemplo:

$$27,9,3,1,?$$

Nesta sequência, ao contrário, dividimos por três. O resultado será $\frac{1}{3}$. Também podemos somar um número não constante:

$$2,4,7,9,12,?$$

Alternamos a soma de +2 e +3. Ou seja, a 2 somamos +2 e obtemos 4. Depois somamos +3 e temos 7. E assim por diante. A 12 somamos 2 e temos 14. Outro exemplo:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

Nesta sequência, somamos sempre um número uma unidade maior que o do passo anterior, começando por +1. Ou seja, 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 etc. No final, somamos 6, então o resultado é 20 + 6 = 26. Outro exemplo:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Alternamos a multiplicação por dois e por três. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 etc. No final, multiplicamos por três, então o resultado é 216.

Alternância de sequências

Podemos combinar ainda mais as sequências e as operações. Podemos, assim, usar uma vez a adição e outra vez a multiplicação:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Aqui primeiro multiplicamos por quatro e, no passo seguinte, somamos dois. Ou seja: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 etc. No final, somamos dois, então o resultado é 234. Um exemplo parecido:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Primeiro multiplicamos por três, depois subtraímos quatro. Assim: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 etc. No final, multiplicamos por três, o resultado é 87.

Podemos combinar sequências de modo que, em uma única sequência, haja na verdade duas, cada uma com a sua propriedade característica. Exemplo:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Nas posições ímpares temos a conhecida sequência 2, 4, 8, 16, 32, ou seja, o número é sempre o dobro do anterior, e nas posições pares temos a sequência 1, 6, 11, 16, ?. É uma sequência em que sempre se soma apenas cinco. O resultado é, portanto, o número 16 + 5 = 21. Mais um exemplo:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

Nesta sequência, podemos encontrar duas subsequências. Nas posições ímpares temos 2, 3, 5, 8, 12, que é uma sequência em que sempre somamos um número uma unidade maior que o do passo anterior. E nas pares temos: 7, 11, 15, 19, ?. Ou seja, apenas somamos quatro. O resultado é 23.

Sequências clássicas

Existem algumas sequências clássicas que vale a pena mencionar. Vamos começar:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — sequência dos quadrados dos números inteiros positivos. Escrito de outro modo: 1², 2², 3², 4², 5², … Se você vir na sequência alguns desses números, principalmente dos maiores, há uma boa chance de que o quadrado esteja em jogo.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — esta é a conhecida sequência de Fibonacci. Cada número é definido como a soma dos dois números anteriores. Ou seja, de trás para a frente: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 etc. Os dois primeiros números, zero e um, são dados de partida.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — sequência dos números primos. Só cuidado: o um não é número primo.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — sequência dos fatoriais. O número na posição n é dado pelo produto 1 · 2 · 3 · … · n. Por exemplo, na quarta posição está o número 24, que é 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Outros tipos de sequências

Exemplo:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

A solução é que, se somarmos os números da primeira e da segunda posição, obtemos o número vinte: 17 + 3 = 20. O mesmo vale para os pares seguintes: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. No lugar do ponto de interrogação deve ficar, portanto, o número um. Outro exemplo:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

Nesta sequência, dividimos os números em trios a, b, c, em que vale a + b = c. Assim, ?+7 = 12 e 4 + 5 = 9. No lugar do ponto de interrogação cabe, portanto, 5. Outro exemplo:

$$2,4,10,28,?$$

Aqui combinamos duas operações: multiplicação e subtração. Obtemos o próximo número multiplicando o anterior por três e ainda subtraindo dois. Assim, temos: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. O próximo da sequência é 28 · 3 − 2 = 82.