Πώς λύνουμε ακολουθίες αριθμών

Οι ακολουθίες αριθμών χρησιμοποιούνται σε πολλά τεστ λογικής. Σου δίνεται μια ακολουθία αριθμών και πρέπει να συμπληρώσεις τον αριθμό που θα έπρεπε λογικά να ακολουθεί. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς λύνουμε τέτοιες ακολουθίες.

Η εκφώνηση

Η κλασική εκφώνηση μιας άσκησης με ακολουθίες αριθμών είναι η εξής:

$$2,4,6,8,10,?$$

Πρέπει να βρεις τον αριθμό που μπορεί να μπει στη θέση του ερωτηματικού, ώστε να έχει το περισσότερο νόημα. Πρέπει δηλαδή να βρεις κάποια χαρακτηριστική ιδιότητα ανάμεσα στους δοσμένους αριθμούς και με τη βοήθειά της να υπολογίσεις τον αριθμό που λείπει. Σε αυτή την περίπτωση το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός 12, επειδή κάθε αριθμός της ακολουθίας είναι πάντα κατά 2 μεγαλύτερος από τον προηγούμενο.

Η λύση δεν είναι πάντα μοναδική. Μπορούμε να πούμε ότι στη θέση του ερωτηματικού μπορούμε να βάλουμε οποιονδήποτε αριθμό, αρκεί να μπορούμε να υποστηρίξουμε την επιλογή μας.

Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός

Οι πιο απλές ακολουθίες είναι εκείνες όπου απλώς προσθέτουμε έναν αριθμό. Παραδείγματα:

$$3,10,17,24,?$$

Εδώ προσθέτουμε κάθε φορά 7, άρα στη θέση του ερωτηματικού θα είναι το 31. Άλλο παράδειγμα:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Προσθέτουμε κάθε φορά 3, ο επόμενος αριθμός της ακολουθίας θα είναι το 4. Άλλο παράδειγμα:

$$17,8,-1,-10,?$$

Σε αυτή την ακολουθία προσθέτουμε −9, δηλαδή αφαιρούμε 9. Ο επόμενος αριθμός θα είναι το −19. Άλλο παράδειγμα:

$$2,4,8,16,?$$

Εδώ δεν προσθέτουμε πια, αλλά πολλαπλασιάζουμε. Κάθε αριθμός είναι διπλάσιος από τον προηγούμενο, οπότε το αποτέλεσμα θα είναι το 32. Άλλο παράδειγμα:

$$27,9,3,1,?$$

Σε αυτή την ακολουθία, αντίθετα, διαιρούμε με το τρία. Το αποτέλεσμα θα είναι $\frac{1}{3}$. Μπορούμε να προσθέτουμε και έναν αριθμό που δεν είναι σταθερός:

$$2,4,7,9,12,?$$

Εναλλάσσουμε την πρόσθεση του +2 και του +3. Δηλαδή στο 2 προσθέτουμε +2 και παίρνουμε 4. Μετά προσθέτουμε +3 και έχουμε 7. Κ.ο.κ. Στο 12 προσθέτουμε 2 και έχουμε 14. Άλλο παράδειγμα:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

Σε αυτή την ακολουθία προσθέτουμε κάθε φορά έναν αριθμό κατά ένα μεγαλύτερο από αυτόν του προηγούμενου βήματος, ξεκινώντας από το +1. Δηλαδή 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 κ.ο.κ. Στο τέλος προσθέτουμε 6, οπότε το αποτέλεσμα είναι 20 + 6 = 26. Άλλο παράδειγμα:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Εναλλάσσουμε τον πολλαπλασιασμό με το δύο και με το τρία. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 κ.ο.κ. Στο τέλος πολλαπλασιάζουμε με το τρία, άρα το αποτέλεσμα είναι 216.

Εναλλαγή ακολουθιών

Μπορούμε να συνδυάσουμε περαιτέρω ακολουθίες και πράξεις. Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μία φορά πρόσθεση και την επόμενη πολλαπλασιασμό:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Εδώ πρώτα πολλαπλασιάζουμε με το τέσσερα και στο επόμενο βήμα προσθέτουμε δύο. Δηλαδή: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 κ.ο.κ. Στο τέλος προσθέτουμε δύο, άρα το αποτέλεσμα είναι 234. Παρόμοιο παράδειγμα:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Πρώτα πολλαπλασιάζουμε με το τρία και μετά αφαιρούμε τέσσερα. Άρα: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 κ.ο.κ. Στο τέλος πολλαπλασιάζουμε με το τρία, το αποτέλεσμα είναι 87.

Μπορούμε να συνδυάσουμε ακολουθίες έτσι ώστε μέσα σε μία ακολουθία να υπάρχουν στην ουσία δύο, καθεμία με τη δική της χαρακτηριστική ιδιότητα. Παράδειγμα:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Στις περιττές θέσεις έχουμε τη γνωστή ακολουθία 2, 4, 8, 16, 32, δηλαδή κάθε αριθμός είναι διπλάσιος από τον προηγούμενο, και στις άρτιες θέσεις έχουμε την ακολουθία 1, 6, 11, 16, ?. Είναι μια ακολουθία όπου απλώς προσθέτουμε πάντα το πέντε. Το αποτέλεσμα είναι λοιπόν ο αριθμός 16 + 5 = 21. Ακόμα ένα παράδειγμα:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

Σε αυτή την ακολουθία μπορούμε να βρούμε δύο υποακολουθίες. Στις περιττές θέσεις έχουμε 2, 3, 5, 8, 12, που είναι μια ακολουθία όπου προσθέτουμε κάθε φορά έναν αριθμό κατά ένα μεγαλύτερο από εκείνον του προηγούμενου βήματος. Και στις άρτιες έχουμε: 7, 11, 15, 19, ?. Δηλαδή απλώς προσθέτουμε το τέσσερα. Το αποτέλεσμα είναι 23.

Κλασικές ακολουθίες

Υπάρχουν κάποιες κλασικές ακολουθίες που αξίζει να αναφέρουμε. Ας ξεκινήσουμε:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … – η ακολουθία των τετραγώνων των φυσικών αριθμών. Με άλλη γραφή: 1², 2², 3², 4², 5², … Αν δεις στην ακολουθία κάποιον από αυτούς τους αριθμούς, ιδίως από τους μεγαλύτερους, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να παίζει ρόλο το τετράγωνο.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … – αυτή είναι η γνωστή ακολουθία Fibonacci. Κάθε αριθμός ορίζεται ως το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Δηλαδή από το τέλος: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 κ.ο.κ. Οι δύο πρώτοι αριθμοί, το μηδέν και το ένα, είναι δοσμένοι εξαρχής.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … – η ακολουθία των πρώτων αριθμών. Προσοχή μόνο στο ότι το ένα δεν είναι πρώτος αριθμός.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … – η ακολουθία των παραγοντικών. Ο αριθμός στη ν-οστή θέση δίνεται από το γινόμενο 1 · 2 · 3 · … · ν. Για παράδειγμα, στην τέταρτη θέση είναι ο αριθμός 24, που είναι 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Άλλοι τύποι ακολουθιών

Παράδειγμα:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Η λύση είναι ότι αν προσθέσουμε τους αριθμούς της πρώτης και της δεύτερης θέσης, παίρνουμε τον αριθμό είκοσι: 17 + 3 = 20. Το ίδιο ισχύει για τα επόμενα ζεύγη: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Στη θέση του ερωτηματικού πρέπει λοιπόν να μπει το ένα. Άλλο παράδειγμα:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

Σε αυτή την ακολουθία χωρίζουμε τους αριθμούς σε τριάδες a, b, c, για τις οποίες ισχύει a + b = c. Άρα ?+7 = 12 και 4 + 5 = 9. Στη θέση του ερωτηματικού ανήκει λοιπόν το 5. Άλλο παράδειγμα:

$$2,4,10,28,?$$

Εδώ συνδυάσαμε δύο πράξεις: πολλαπλασιασμό και αφαίρεση. Τον επόμενο αριθμό τον βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με το τρία και αφαιρώντας στη συνέχεια δύο. Έχουμε λοιπόν: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Ο επόμενος αριθμός είναι 28 · 3 − 2 = 82.