階乗

n の階乗は、n 以下のすべての自然数の積です。階乗は「!」を使って n! と書きます。ただし、0については 0! = 1 と決めます。階乗は主に場合の数で使われ、順列の総数を求めるときなどに使います。例えば、5の階乗は 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 です。

階乗の定義

階乗はいろいろな方法で定義できます。いちばん簡単なのは、おそらく次の定義です。

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{n = 0 のとき}\\ n\cdot (n-1)!& \text{それ以外のとき}\end{array}$$

積の記号を使って定義することもできます。

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

また、積分を使って定義することもできます。

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

階乗を含む計算

階乗は、分数の形で計算することがよくあります。そのとき、n! = n · (n − 1)! が成り立つことを使います。これは定義から成り立ちます。例で確かめてみましょう。4の階乗 4! は、自然数の積 4 · 3 · 2 · 1 です。ここで、積 3 · 2 · 1 は3の階乗に等しいので、3 · 2 · 1 = 3! と書けます。したがって、4の階乗は 4! = 4 · 3! と書けます。

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

これを使うと、分数の中のいろいろな階乗を効率よく約分できます。例題として、次の式を簡単にしてみましょう。

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

先ほどの式を使って簡単にします。分子の階乗は n · (n − 1)! に分けられ、さらに同じ式を使って n · (n − 1) · (n − 2)! に分けられます。これで、分数をきれいに約分できます。

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

別の例です。

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

最後の例です。

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$