Miten ratkaistaan lukujonotehtäviä

Lukujonoja käytetään erilaisissa loogisissa testeissä. Sinulle annetaan jono lukuja, ja tehtäväsi on täydentää jonoon luku, jonka pitäisi loogisesti tulla seuraavaksi. Tässä artikkelissa näytämme, miten tällaisia lukujonoja ratkaistaan.

Tehtävänanto

Klassinen lukujonotehtävä näyttää tältä:

$$2,4,6,8,10,?$$

Tehtäväsi on löytää luku, jonka voi sijoittaa kysymysmerkin paikalle niin, että se on mahdollisimman järkevä. Sinun täytyy siis löytää annettujen lukujen välillä jokin luonteenomainen ominaisuus ja laskea sen avulla puuttuva luku. Tässä tapauksessa tulos on luku 12, koska jonon jokainen luku on aina 2 suurempi kuin edellinen.

Ratkaisu ei aina ole yksiselitteinen. Voidaan sanoa, että kysymysmerkin paikalle voi sijoittaa minkä tahansa luvun, jos osaamme perustella valintamme.

Yhteenlasku ja kertolasku

Yksinkertaisimpiin jonoihin kuuluvat ne, joissa lisätään vain jokin luku. Esimerkkejä:

$$3,10,17,24,?$$

Tässä lisätään aina 7, joten kysymysmerkin paikalla on 31. Toinen esimerkki:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Lisäämme aina 3, jonon seuraava luku on 4. Toinen esimerkki:

$$17,8,-1,-10,?$$

Tässä jonossa lisäämme −9 eli vähennämme 9. Seuraava jonossa on −19. Toinen esimerkki:

$$2,4,8,16,?$$

Tässä emme enää laske yhteen vaan kerromme. Luku on aina kaksi kertaa edellistä suurempi, joten tulos on 32. Toinen esimerkki:

$$27,9,3,1,?$$

Tässä jonossa sen sijaan jaamme kolmella. Tulos on $\frac{1}{3}$. Voimme lisätä myös muuttuvan luvun:

$$2,4,7,9,12,?$$

Vuorottelemme lisäysten +2 ja +3 välillä. Eli lukuun 2 lisäämme +2 ja saamme 4. Sitten lisäämme +3 ja saamme 7. Ja niin edelleen. Lukuun 12 lisäämme 2 ja saamme 14. Toinen esimerkki:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

Tässä jonossa lisäämme joka kerta yhtä suuremman luvun kuin edellisessä vaiheessa, aloittaen lisäyksestä +1. Eli 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 ja niin edelleen. Lopuksi lisäämme 6, joten tulos on 20 + 6 = 26. Toinen esimerkki:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Vuorottelemme kahdella ja kolmella kertomisen välillä. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 ja niin edelleen. Lopuksi kerromme kolmella, joten tulos on 216.

Vuorottelevat jonot

Jonoja ja laskutoimituksia voi yhdistellä edelleen. Voimme käyttää kerran yhteenlaskua ja toisen kerran kertolaskua:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Tässä kerromme ensin neljällä ja seuraavassa vaiheessa lisäämme kaksi. Eli: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, ja niin edelleen. Lopuksi lisäämme kaksi, joten tulos on 234. Samanlainen esimerkki:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Ensin kerromme kolmella, sitten vähennämme neljä. Eli: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 ja niin edelleen. Lopuksi kerromme kolmella, tulos on 87.

Jonoja voi yhdistää niin, että yhdessä jonossa on oikeastaan kaksi jonoa, joilla kummallakin on oma luonteenomainen ominaisuutensa. Esimerkki:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Parittomilla paikoilla on tuttu jono 2, 4, 8, 16, 32, eli luku on aina kaksinkertainen edelliseen verrattuna, ja parillisilla paikoilla on jono 1, 6, 11, 16, ?. Siinä lisätään aina vain viisi. Tulos on siis 16 + 5 = 21. Vielä yksi esimerkki:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

Tästä jonosta löytyy kaksi osajonoa. Parittomilla paikoilla on 2, 3, 5, 8, 12, eli jono, jossa lisätään aina yhtä suurempi luku kuin edellisessä vaiheessa. Parillisilla taas on: 7, 11, 15, 19, ?. Siinä lisätään vain neljä. Tulos on 23.

Klassisia jonoja

On joitakin klassisia jonoja, jotka kannattaa mainita. Aloitetaan:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … – positiivisten kokonaislukujen neliöiden jono. Toisin kirjoitettuna: 1², 2², 3², 4², 5², … Jos jonossa näet jonkin näistä luvuista, erityisesti suuremmista, on hyvä mahdollisuus, että kyseessä on juuri neliö.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … – tämä on tunnettu Fibonaccin lukujono. Jokainen luku määritellään kahden edellisen luvun summana. Eli takaperin: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 ja niin edelleen. Kaksi ensimmäistä lukua, nolla ja yksi, on annettu valmiiksi.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … – alkulukujen jono. Varo vain, ettei ykkönen kuulu alkulukuihin.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … – kertomien jono. Paikalla n oleva luku on tulo 1 · 2 · 3 · … · n. Esimerkiksi neljännellä paikalla on luku 24, joka on 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Muita jonotyyppejä

Esimerkki:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Ratkaisu on, että kun lasketaan yhteen ensimmäinen ja toinen luku, saadaan luku kaksikymmentä: 17 + 3 = 20. Sama pätee seuraaville pareille: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Kysymysmerkin paikalle tulee siis ykkönen. Toinen esimerkki:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

Tässä jonossa jaamme luvut kolmikoihin a, b, c, joille pätee a + b = c. Eli ?+7 = 12 ja 4 + 5 = 9. Kysymysmerkin paikalle kuuluu siis 5. Toinen esimerkki:

$$2,4,10,28,?$$

Tässä yhdistimme kaksi laskutoimitusta: kertolaskun ja vähennyslaskun. Seuraavan luvun saamme kertomalla edellisen kolmella ja vähentämällä vielä kaksi. Meillä on siis: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Seuraava jonossa on 28 · 3 − 2 = 82.