Så löser du talföljder

Talföljder förekommer i många olika logiska tester. Du får en följd av tal och ska fylla i det tal som logiskt borde komma härnäst. I den här artikeln visar vi hur du löser sådana talföljder.

Uppgiften

En klassisk talföljdsuppgift ser ut så här:

$$2,4,6,8,10,?$$

Du ska hitta ett tal som kan stå på frågetecknets plats så att det blir så logiskt som möjligt. Du måste alltså hitta någon gemensam egenskap hos de givna talen och använda den för att räkna ut det saknade talet. Här blir svaret 12, eftersom varje tal i följden alltid är 2 större än det föregående.

Lösningen behöver inte alltid vara entydig. Man kan säga att vi får sätta in vilket tal som helst på frågetecknets plats, bara vi kan försvara valet.

Addition och multiplikation

Till de enklaste talföljderna hör de där man bara lägger till ett tal. Exempel:

$$3,10,17,24,?$$

Här lägger vi alltid till 7, så på frågetecknets plats står 31. Ett exempel till:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Vi lägger alltid till 3, så nästa tal i följden är 4. Ett exempel till:

$$17,8,-1,-10,?$$

I den här följden lägger vi till −9, alltså subtraherar vi 9. Nästa tal blir −19. Ett exempel till:

$$2,4,8,16,?$$

Här adderar vi inte längre utan multiplicerar. Varje tal är dubbelt så stort som det föregående, så svaret blir 32. Ett exempel till:

$$27,9,3,1,?$$

I den här följden dividerar vi i stället, med tre. Svaret blir $\frac{1}{3}$. Vi kan också lägga till ett tal som inte är konstant:

$$2,4,7,9,12,?$$

Vi växlar mellan att lägga till +2 och +3. Till 2 lägger vi alltså +2 och får 4. Sedan lägger vi till +3 och får 7. Osv. Till 12 lägger vi 2 och får 14. Ett exempel till:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

I den här följden lägger vi i varje steg till ett tal som är ett större än i steget innan, och vi börjar med +1. Alltså 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 osv. Till slut lägger vi till 6, så svaret är 20 + 6 = 26. Ett exempel till:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Vi växlar mellan att multiplicera med två och med tre. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 osv. Till slut multiplicerar vi med tre, så svaret är 216.

Växlande talföljder

Vi kan också kombinera följder och räknesätt. Vi kan till exempel använda addition ena gången och multiplikation nästa gång:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Här multiplicerar vi först med fyra och lägger i nästa steg till två. Alltså: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, osv. Till slut lägger vi till två, så svaret är 234. Ett liknande exempel:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Först multiplicerar vi med tre och sedan subtraherar vi fyra. Alltså: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 osv. Till slut multiplicerar vi med tre, så svaret är 87.

Vi kan också blanda följder så att en talföljd i själva verket består av två följder som har var sin regel. Exempel:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

På de udda positionerna har vi den välkända följden 2, 4, 8, 16, 32, där varje tal är dubbelt så stort som det föregående, och på de jämna positionerna har vi talföljden 1, 6, 11, 16, ?. Där lägger vi alltid till fem. Svaret är alltså 16 + 5 = 21. Ett exempel till:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

I den här följden hittar vi två delföljder. På de udda positionerna har vi 2, 3, 5, 8, 12, en följd där vi i varje steg lägger till ett tal som är ett större än i steget innan. På de jämna positionerna har vi: 7, 11, 15, 19, ?. Där lägger vi bara till fyra. Svaret är 23.

Klassiska talföljder

Det finns några klassiska talföljder som är värda att nämna. Vi börjar:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — talföljden av kvadrater av positiva heltal. Den kan också skrivas 1², 2², 3², 4², 5², … Om du ser något av de här talen i en talföljd, särskilt några av de större, är det rätt troligt att det är just kvadraten som spelar roll.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — det här är den välkända Fibonacciföljden. Varje tal är definierat som summan av de två föregående. Baklänges alltså: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 osv. De två första talen, noll och ett, är givna på förhand.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — talföljden av primtal. Tänk bara på att ettan inte är ett primtal.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — talföljden av fakulteter. Talet på position n ges av produkten 1 · 2 · 3 · … · n. På fjärde positionen står till exempel talet 24, som är 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Fler typer av talföljder

Exempel:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Lösningen är att om vi adderar talen på första och andra platsen får vi tjugo: 17 + 3 = 20. Samma sak gäller för de följande paren: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. På frågetecknets plats ska det alltså stå en etta. Ett exempel till:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

I den här följden delar vi in talen i grupper om tre, a, b, c, där a + b = c gäller. Alltså ?+7 = 12 och 4 + 5 = 9. På frågetecknets plats hör därför 5 hemma. Ett exempel till:

$$2,4,10,28,?$$

Här har vi kombinerat två räknesätt: multiplikation och subtraktion. Nästa tal får vi genom att multiplicera det föregående med tre och dessutom subtrahera två. Vi har alltså: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Nästa tal i följden är 28 · 3 − 2 = 82.