Cum rezolvi șiruri de numere

Șirurile de numere apar în cele mai diverse teste de logică. Ai un șir de numere și trebuie să îl completezi cu numărul care ar urma în mod logic. În acest articol vedem cum se rezolvă astfel de șiruri.

Enunțul

Un exercițiu clasic cu șiruri de numere arată așa:

$$2,4,6,8,10,?$$

Sarcina ta este să găsești numărul care poate fi pus în locul semnului întrebării, astfel încât să aibă cel mai mult sens. Trebuie deci să descoperi o proprietate caracteristică a numerelor date și, cu ajutorul ei, să calculezi numărul care lipsește. În cazul de față rezultatul este 12, deoarece fiecare număr din șir este cu 2 mai mare decât cel dinaintea lui.

Soluția nu este întotdeauna unică. Se poate spune că în locul semnului întrebării poți pune orice număr, dacă ești în stare să îți justifici alegerea.

Adunare și înmulțire

Printre cele mai simple șiruri sunt cele în care se adaugă mereu același număr. Exemple:

$$3,10,17,24,?$$

Aici se adaugă mereu 7, deci în locul semnului întrebării vine 31. Alt exemplu:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Adunăm mereu 3, deci următorul număr din șir este 4. Alt exemplu:

$$17,8,-1,-10,?$$

În acest șir adunăm −9, adică scădem 9. Următorul număr este −19. Alt exemplu:

$$2,4,8,16,?$$

Aici nu mai adunăm, ci înmulțim. Fiecare număr este dublul celui precedent, deci rezultatul va fi 32. Alt exemplu:

$$27,9,3,1,?$$

În acest șir, dimpotrivă, împărțim, la trei. Rezultatul este $\frac{1}{3}$. Putem aduna și un număr care nu este constant:

$$2,4,7,9,12,?$$

Adunăm alternativ +2 și +3. Deci la 2 adunăm +2 și obținem 4. Apoi adunăm +3 și obținem 7. Și tot așa. La 12 adunăm 2 și obținem 14. Alt exemplu:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

În acest șir adunăm la fiecare pas un număr cu unu mai mare decât la pasul anterior, începând cu +1. Deci 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 și așa mai departe. La final adunăm 6, deci rezultatul este 20 + 6 = 26. Alt exemplu:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Alternăm înmulțirea cu doi și cu trei. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 și așa mai departe. La final înmulțim cu trei, deci rezultatul este 216.

Șiruri alternante

Putem combina în continuare șirurile și operațiile. Putem folosi o dată adunarea și altă dată înmulțirea:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Aici mai întâi înmulțim cu patru, iar la pasul următor adunăm doi. Deci: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 și așa mai departe. La final adunăm doi, deci rezultatul este 234. Un exemplu asemănător:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Mai întâi înmulțim cu trei, apoi scădem patru. Deci: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 și așa mai departe. La final înmulțim cu trei, rezultatul este 87.

Putem combina șirurile astfel încât într-un singur șir să se ascundă de fapt două șiruri, fiecare cu propria regulă. Exemplu:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

Pe pozițiile impare avem șirul cunoscut 2, 4, 8, 16, 32, deci fiecare număr este dublul celui precedent, iar pe pozițiile pare avem șirul 1, 6, 11, 16, ?. Este un șir în care se adaugă mereu cinci. Rezultatul este deci 16 + 5 = 21. Încă un exemplu:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

În acest șir putem găsi două subșiruri. Pe pozițiile impare avem 2, 3, 5, 8, 12, un șir în care adunăm la fiecare pas un număr cu unu mai mare decât la pasul anterior. Iar pe pozițiile pare avem: 7, 11, 15, 19, ?. Deci adunăm doar patru. Rezultatul este 23.

Șiruri clasice

Există câteva șiruri clasice care merită menționate. Să începem:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … – șirul pătratelor numerelor naturale nenule. Scris altfel: 1², 2², 3², 4², 5², … Dacă într-un șir vezi vreunul dintre aceste numere, mai ales dintre cele mai mari, e o șansă bună ca tocmai pătratele să joace un rol.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … – acesta este celebrul șir al lui Fibonacci. Fiecare număr este definit ca suma celor două numere precedente. Deci, de la coadă: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 și așa mai departe. Primele două numere, zero și unu, sunt fixate.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … – șirul numerelor prime. Ai grijă doar că numărul unu nu este număr prim.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … – șirul factorialelor. Numărul de pe poziția a n-a este dat de produsul 1 · 2 · 3 · … · n. De exemplu, pe poziția a patra se află numărul 24, care este 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Alte tipuri de șiruri

Exemplu:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Soluția este că, dacă adunăm numerele de pe primul și al doilea loc, obținem douăzeci: 17 + 3 = 20. La fel pentru perechile următoare: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. În locul semnului întrebării trebuie deci să fie unu. Alt exemplu:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

În acest șir împărțim numerele în grupuri de câte trei, a, b, c, pentru care are loc a + b = c. Deci ?+7 = 12 și 4 + 5 = 9. În locul semnului întrebării se potrivește deci 5. Alt exemplu:

$$2,4,10,28,?$$

Aici am combinat două operații: înmulțirea și scăderea. Numărul următor îl obținem înmulțind numărul precedent cu trei și scăzând apoi doi. Deci avem: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Următorul număr din șir este 28 · 3 − 2 = 82.