Zahlenreihen lösen

Zahlenreihen werden in verschiedensten Logiktests verwendet. Du hast eine Folge von Zahlen gegeben und deine Aufgabe ist es, die Reihe um die Zahl zu ergänzen, die logisch folgen sollte. In diesem Artikel zeigen wir, wie man solche Zahlenreihen löst.

Aufgabenstellung

Die klassische Aufgabenstellung für Zahlenreihen sieht so aus:

$$2,4,6,8,10,?$$

Deine Aufgabe ist es, die Zahl zu finden, die man für das Fragezeichen einsetzen kann, sodass es am meisten Sinn ergibt. Du musst also eine charakteristische Eigenschaft zwischen den gegebenen Zahlen finden und mit ihrer Hilfe die fehlende Zahl berechnen. In diesem Fall ist das Ergebnis die Zahl 12, weil jede Zahl in der Reihe immer um 2 größer ist als die vorige.

Die Lösung muss nicht immer eindeutig sein. Man kann sagen, dass wir für das Fragezeichen jede beliebige Zahl einsetzen können, wenn wir diese Wahl begründen können.

Addieren und Multiplizieren

Zu den einfachsten Reihen gehören diejenigen, bei denen nur eine Zahl addiert wird. Beispiele:

$$3,10,17,24,?$$

Hier wird immer 7 addiert, also steht an der Stelle des Fragezeichens 31. Noch ein Beispiel:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Wir addieren immer 3, die nächste Zahl in der Reihe ist 4. Noch ein Beispiel:

$$17,8,-1,-10,?$$

In dieser Reihe addieren wir −9, also subtrahieren wir 9. Die nächste in der Reihe ist −19. Noch ein Beispiel:

$$2,4,8,16,?$$

Hier addieren wir nicht mehr, sondern multiplizieren. Die Zahl ist immer doppelt so groß wie die vorige, also ist das Ergebnis 32. Noch ein Beispiel:

$$27,9,3,1,?$$

In dieser Reihe dividieren wir dagegen, und zwar durch drei. Das Ergebnis ist $\frac{1}{3}$. Man kann auch eine nicht konstante Zahl addieren:

$$2,4,7,9,12,?$$

Wir wechseln zwischen dem Addieren von +2 und +3 ab. Zu 2 addieren wir also +2 und erhalten 4. Dann addieren wir +3 und haben 7. Usw. Zu 12 addieren wir 2 und haben 14. Noch ein Beispiel:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

In dieser Reihe addieren wir immer eine um eins höhere Zahl als im vorigen Schritt, wobei wir bei +1 beginnen. Also 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 usw. Zum Schluss addieren wir 6, das Ergebnis ist also 20 + 6 = 26. Noch ein Beispiel:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Wir wechseln zwischen dem Multiplizieren mit zwei und mit drei ab. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 usw. Zum Schluss multiplizieren wir mit drei, das Ergebnis ist also 216.

Abwechselnde Reihen

Reihen und Operationen können wir weiter kombinieren. So können wir einmal die Addition und ein andermal die Multiplikation verwenden:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Hier multiplizieren wir zuerst mit vier und im nächsten Schritt addieren wir zwei. Also: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 usw. Zum Schluss addieren wir zwei, das Ergebnis ist also 234. Ein ähnliches Beispiel:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Zuerst multiplizieren wir mit drei, danach subtrahieren wir vier. Also: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 usw. Zum Schluss multiplizieren wir mit drei, das Ergebnis ist 87.

Reihen können wir so kombinieren, dass in einer Reihe eigentlich zwei stecken, die jeweils ihre eigene charakteristische Eigenschaft haben. Beispiel:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

An den ungeraden Positionen haben wir die bekannte Reihe 2, 4, 8, 16, 32, also ist die Zahl immer das Doppelte der vorigen Zahl, und an den geraden Positionen haben wir die Folge 1, 6, 11, 16, ?. Das ist eine Reihe, in der immer nur fünf addiert wird. Das Ergebnis ist also die Zahl 16 + 5 = 21. Noch ein Beispiel:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

In dieser Reihe können wir zwei Teilreihen finden. An den ungeraden Positionen haben wir 2, 3, 5, 8, 12, das ist eine Reihe, in der wir immer eine um eins größere Zahl addieren als im vorigen Schritt. Und an den geraden haben wir: 7, 11, 15, 19, ?. Wir addieren also nur vier. Das Ergebnis ist 23.

Klassische Reihen

Es gibt einige klassische Reihen, die man erwähnen sollte. Wir beginnen:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … – die Folge der Quadratzahlen der natürlichen Zahlen. Anders geschrieben: 1², 2², 3², 4², 5², … Wenn du in einer Folge einige dieser Zahlen siehst, besonders die größeren, besteht eine gute Chance, dass gerade das Quadrat eine Rolle spielt.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … – das ist die bekannte Fibonacci-Folge. Jede Zahl ist als Summe der zwei vorigen Zahlen definiert. Also von hinten: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 usw. Die ersten zwei Zahlen, null und eins, sind fest vorgegeben.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … – die Folge der Primzahlen. Nur Vorsicht: Die Eins gehört nicht zu den Primzahlen.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … – die Folge der Fakultäten. Die Zahl an der n-ten Position ist durch das Produkt 1 · 2 · 3 · … · n gegeben. Zum Beispiel steht an der vierten Position die Zahl 24, das ist 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Weitere Typen von Reihen

Beispiel:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Die Lösung ist: Wenn wir die Zahlen an der ersten und zweiten Stelle addieren, erhalten wir die Zahl zwanzig: 17 + 3 = 20. Genauso für die folgenden Paare: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. An der Stelle des Fragezeichens muss also eins stehen. Noch ein Beispiel:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

In dieser Folge teilen wir die Zahlen in Dreiergruppen a, b, c ein, wobei a + b = c gilt. Also ?+7 = 12 und 4 + 5 = 9. An die Stelle des Fragezeichens gehört also 5. Noch ein Beispiel:

$$2,4,10,28,?$$

Hier haben wir zwei Operationen verbunden: Multiplikation und Subtraktion. Die nächste Zahl erhalten wir, indem wir die vorige mit drei multiplizieren und noch zwei subtrahieren. Also haben wir: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Die nächste in der Reihe ist 28 · 3 − 2 = 82.