Sådan løser du talrækker

Talrækker bruges i alle mulige logiske tests. Du får givet en talfølge, og din opgave er at fortsætte rækken med det tal, der logisk bør komme som det næste. I denne artikel viser vi, hvordan sådanne talrækker løses.

Opgaven

En klassisk opgave om talrækker ser sådan ud:

$$2,4,6,8,10,?$$

Din opgave er at finde det tal, som kan sættes ind i stedet for spørgsmålstegnet, så det giver størst mulig mening. Du skal altså finde en karakteristisk egenskab mellem de givne tal og ud fra den beregne det manglende tal. I dette tilfælde bliver resultatet tallet 12, fordi hvert tal i rækken altid er 2 større end det foregående.

Løsningen er ikke altid entydig. Man kan sige, at vi kan sætte et hvilket som helst tal ind i stedet for spørgsmålstegnet, hvis vi kan forsvare dette valg.

Addition og multiplikation

Blandt de enkleste rækker er dem, hvor der bare lægges et tal til. Eksempler:

$$3,10,17,24,?$$

Her lægges der altid 7 til, så på spørgsmålstegnets plads står 31. Et andet eksempel:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Vi lægger altid 3 til, det næste tal i rækken bliver 4. Et andet eksempel:

$$17,8,-1,-10,?$$

I denne række lægger vi −9 til, altså trækker vi 9 fra. Det næste i rækken bliver −19. Et andet eksempel:

$$2,4,8,16,?$$

Her lægger vi ikke til, men ganger. Tallet er altid dobbelt så stort som det foregående, så resultatet bliver 32. Et andet eksempel:

$$27,9,3,1,?$$

I denne række dividerer vi til gengæld med tre. Resultatet bliver $\frac{1}{3}$. Vi kan også lægge et tal til, der ikke er konstant:

$$2,4,7,9,12,?$$

Vi skifter mellem at lægge +2 og +3 til. Altså til 2 lægger vi +2, og vi får 4. Så lægger vi +3 til og har 7. Osv. Til 12 lægger vi 2 til og har 14. Et andet eksempel:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

I denne række lægger vi altid et tal til, der er én større end i det foregående trin, og vi begynder med +1. Altså 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 osv. Til sidst lægger vi 6 til, så resultatet er 20 + 6 = 26. Et andet eksempel:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Vi skifter mellem at gange med to og med tre. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 osv. Til sidst ganger vi med tre, så resultatet er 216.

Skiftende rækker

Rækker og operationer kan vi desuden kombinere. Vi kan således bruge addition en gang og multiplikation næste gang:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Her ganger vi først med fire og lægger i næste trin to til. Altså: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, osv. Til sidst lægger vi to til, så resultatet er 234. Et lignende eksempel:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Først ganger vi med tre, derefter trækker vi fire fra. Altså: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 osv. Til sidst ganger vi med tre, resultatet er 87.

Rækker kan vi kombinere, så der i én række egentlig er to, som hver har sin egen karakteristiske egenskab. Eksempel:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

På de ulige pladser har vi den kendte række 2, 4, 8, 16, 32, altså tallet er altid det dobbelte af det foregående tal, og på de lige pladser har vi talfølgen 1, 6, 11, 16, ?. Det er en række, hvor man hele tiden bare lægger fem til. Resultatet er derfor tallet 16 + 5 = 21. Endnu et eksempel:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

I denne række kan vi finde to delrækker. På de ulige pladser har vi 2, 3, 5, 8, 12, som er en række, hvor vi altid lægger et tal til, der er én større end i det foregående trin. Og på de lige pladser har vi: 7, 11, 15, 19, ?. Altså vi lægger bare fire til. Resultatet er 23.

Klassiske rækker

Der findes nogle klassiske rækker, som er værd at nævne. Vi begynder:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — talfølgen af kvadrater af de naturlige tal. Skrevet på en anden måde: 1², 2², 3², 4², 5², … Hvis du ser nogle af disse tal i en talfølge, især af de større, er der en pæn chance for, at det netop er kvadrater, der spiller en rolle.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — det er den kendte Fibonacci-talfølge. Hvert tal er defineret som summen af de to foregående tal. Altså bagfra: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 osv. De to første tal, nul og et, er fastlagt på forhånd.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — talfølgen af primtal. Pas bare på: Tallet et er ikke et primtal.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — talfølgen af fakulteter. Tallet på den n-te plads er givet ved produktet 1 · 2 · 3 · … · n. For eksempel står tallet 24 på den fjerde plads, og det er 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Andre typer rækker

Eksempel:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

Løsningen er, at hvis vi lægger tallene på første og anden plads sammen, får vi tallet tyve: 17 + 3 = 20. Det samme gælder for de følgende par: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. På spørgsmålstegnets plads skal der altså stå tallet et. Et andet eksempel:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

I denne talfølge deler vi tallene i grupper på tre a, b, c, hvor der gælder a + b = c. Altså ?+7 = 12 og 4 + 5 = 9. På spørgsmålstegnets plads hører der derfor 5. Et andet eksempel:

$$2,4,10,28,?$$

Her har vi kombineret to operationer: multiplikation og subtraktion. Det næste tal får vi ved at gange det foregående med tre og trække to fra. Altså har vi: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Det næste i rækken er 28 · 3 − 2 = 82.