Hogyan oldjuk meg a számsoros feladatokat

A számsorok a legkülönfélébb logikai tesztekben szerepelnek. Kapsz egy számsorozatot, és a feladatod az, hogy kiegészítsd a sort egy olyan számmal, amely logikusan következik. Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan lehet az ilyen számsorokat megoldani.

A feladat

Egy szokásos számsoros feladat így néz ki:

$$2,4,6,8,10,?$$

A feladatod az, hogy megtaláld azt a számot, amelyet a kérdőjel helyére írhatsz úgy, hogy a lehető legtöbb értelme legyen. Valamilyen jellegzetes tulajdonságot kell tehát találnod a megadott számok között, és ennek segítségével kiszámítanod a hiányzó számot. Ebben az esetben az eredmény a 12, mert a sor minden száma mindig 2-vel nagyobb az előzőnél.

A megoldás nem mindig egyértelmű. Azt mondhatjuk, hogy a kérdőjel helyére bármilyen számot írhatunk, ha meg tudjuk védeni ezt a választást.

Összeadás és szorzás

A legegyszerűbb sorok közé tartoznak azok, amelyekben csak hozzáadunk valamilyen számot. Példák:

$$3,10,17,24,?$$

Itt mindig 7-et adunk hozzá, tehát a kérdőjel helyén 31 lesz. Újabb példa:

$$-8,-5,-2,1,?$$

Mindig 3-at adunk hozzá, a sor következő száma 4 lesz. Újabb példa:

$$17,8,-1,-10,?$$

Ebben a sorban −9-et adunk hozzá, vagyis 9-et vonunk ki. A sor következő tagja −19. Újabb példa:

$$2,4,8,16,?$$

Itt már nem összeadunk, hanem szorzunk. Minden szám az előző kétszerese, így az eredmény 32 lesz. Újabb példa:

$$27,9,3,1,?$$

Ebben a sorban ezzel szemben osztunk, hárommal. Az eredmény $\frac{1}{3}$ lesz. Nem állandó számot is hozzáadhatunk:

$$2,4,7,9,12,?$$

Felváltva adunk hozzá +2-t és +3-at. Tehát a 2-höz hozzáadunk +2-t, így 4-et kapunk. Aztán hozzáadunk +3-at, és megvan a 7. És így tovább. A 12-höz hozzáadunk 2-t, és megkapjuk a 14-et. Újabb példa:

$$5,6,8,11,15,20,?$$

Ebben a sorban mindig eggyel nagyobb számot adunk hozzá, mint az előző lépésben, és +1-gyel kezdjük. Tehát 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 és így tovább. Végül 6-ot adunk hozzá, így az eredmény 20 + 6 = 26. Újabb példa:

$$1,2,6,12,36,72,?$$

Felváltva szorzunk kettővel és hárommal. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 és így tovább. Végül hárommal szorzunk, tehát az eredmény 216.

Váltakozó sorok

A sorokat és a műveleteket tovább is kombinálhatjuk. Egyszer használhatunk összeadást, máskor szorzást:

$$3,12,14,56,58,232,?$$

Itt először néggyel szorzunk, a következő lépésben pedig kettőt adunk hozzá. Tehát: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 és így tovább. Végül kettőt adunk hozzá, így az eredmény 234. Hasonló példa:

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

Először hárommal szorzunk, aztán négyet vonunk ki. Tehát: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 és így tovább. Végül hárommal szorzunk, az eredmény 87.

A sorokat úgy is kombinálhatjuk, hogy egy sorban valójában kettő rejtőzik, amelyeknek külön-külön megvan a saját jellegzetes tulajdonságuk. Példa:

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

A páratlan helyeken az ismert 2, 4, 8, 16, 32 sor áll, vagyis minden szám az előző kétszerese, a páros helyeken pedig az 1, 6, 11, 16, ? sorozat. Ebben mindig csak ötöt adunk hozzá. Az eredmény tehát 16 + 5 = 21. Még egy példa:

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

Ebben a sorban két részsort találunk. A páratlan helyeken a 2, 3, 5, 8, 12 áll, vagyis minden lépésben eggyel nagyobb számot adunk hozzá, mint az előzőben. A páros helyeken pedig ez áll: 7, 11, 15, 19, ?. Ott tehát csak négyet adunk hozzá. Az eredmény 23.

Klasszikus sorok

Van néhány klasszikus sor, amelyet érdemes megemlíteni. Kezdjük:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … – a pozitív egész számok négyzeteinek sorozata. Másképp felírva: 1², 2², 3², 4², 5², … Ha a sorban ezek közül a számok közül bármelyiket meglátod, különösen a nagyobbakat, jó eséllyel éppen a négyzetre emelés játszik szerepet.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … – ez a híres Fibonacci-sorozat. Minden számot az előző két szám összegeként definiálunk. Tehát visszafelé: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 és így tovább. Az első két számot, a nullát és az egyest, előre megadjuk.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … – a prímszámok sorozata. Csak arra kell vigyázni, hogy az egyes nem prímszám.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … – a faktoriálisok sorozata. Az n-edik helyen álló számot az 1 · 2 · 3 · … · n szorzat adja. Például a negyedik helyen a 24 áll, ami 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

További sortípusok

Példa:

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

A megoldás az, hogy ha összeadjuk az első és a második helyen álló számot, húszat kapunk: 17 + 3 = 20. Ugyanígy a következő párokra: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. A kérdőjel helyére tehát egyest kell írni. Újabb példa:

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

Ebben a sorozatban a számokat hármasokra osztjuk, a, b, c, ahol a + b = c teljesül. Tehát ?+7 = 12 és 4 + 5 = 9. A kérdőjel helyére így 5 való. Újabb példa:

$$2,4,10,28,?$$

Itt két műveletet kapcsoltunk össze: a szorzást és a kivonást. A következő számot úgy kapjuk, hogy az előzőt megszorozzuk hárommal, és még kivonunk belőle kettőt. Tehát: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. A sor következő tagja 28 · 3 − 2 = 82.