外積

外積（ベクトル積）は、空間の2つのベクトルの間の演算で、その2つのベクトルに垂直な新しいベクトルを与えます。日本の高校では扱わず、大学で学ぶ内容です。

外積とは

外積は、2つのベクトルの間で、しかも空間でだけ定義されます。内積と違い、外積の結果はまたベクトルです。ベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の外積は、次の性質をもつベクトル $\overrightarrow{w}$ です。

$$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \sin \alpha ,$$

ここで α はベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ のなす角です。さらに、ベクトル $\overrightarrow{w}$ はベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の両方に垂直です。向きは右手の法則（右ねじの法則）で決まります。内積と区別するため、外積には記号 × を使い、$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ と書きます。

図は外積 $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ の例です。結果は、両方のベクトルに垂直なベクトル $\overrightarrow{w}$ です。空間で考えているので、ベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ は1つの平面上にあり、ベクトル $\overrightarrow{w}$ はその平面に垂直です。

一方のベクトルがもう一方の1次結合（実数倍）になっているとき、外積は零ベクトルになります。これは、2つのベクトルが同じ直線上にある場合です。少なくとも一方が零ベクトルなら、外積も零ベクトルです。

外積の成分の求め方

ここまでで、外積のベクトルの大きさと向きは求められるようになりました。しかし実際には、そのベクトルの成分が直接わかるほうが便利です。式そのものは次のとおりです。

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

この式はなかなか覚えにくいので、覚えるための工夫があります。

この表を使えば、ベクトルの外積がきれいに計算できます。例として、ベクトル $\overrightarrow{u}=(4,0,0)$ と $\overrightarrow{v}=(0,5,0)$ を考えます。それぞれ x 軸上、y 軸上にあるベクトルです。外積は次のようになります。

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

外積のベクトル $\overrightarrow{w}$ の成分は (0, 0, 20) です。結果が正しいことは、最初の定義で確かめられます。定義は次のとおりでした。

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

ベクトル $\overrightarrow{w}$ の大きさは20です。したがって、式から次が成り立つはずです。

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

代入します。

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

何の役に立つのか

外積を使えば、2つのベクトルに垂直なベクトルを求められます。本当にそうなっていることは、内積で確かめられます。結果は0になるはずです。前の例で確かめてみましょう。

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

ほかの使い方として、空間の平行四辺形の面積の計算があります。空間に平行四辺形 ABCD があり、辺 AB と AD が表すベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ とすると、平行四辺形の面積は $S=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$ です。空間に三角形 ABC があり、辺 AB と AC が表すベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ とすると、面積は $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$ です。

例：3点 A(1, 0, 3)、B(5, 6, 8)、C(3, 5, 4) を頂点とする空間の三角形の面積を求めなさい。

まず、ベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ を求めます。

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

次に、外積を計算します。

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(-19,6,8)$$

さらに、その大きさを求めます。

$$|\overrightarrow{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\fallingdotseq 21.47$$

最後に、結果を2で割ります。

$$S(\mathrm{△}ABC)=\frac{21.47}{2}=10.735$$