Produto vetorial

O produto vetorial é uma operação no espaço entre dois vetores que nos devolve um novo vetor, perpendicular a esses dois.

O que é o produto vetorial

O produto vetorial é definido entre dois vetores e apenas no espaço. O resultado do produto vetorial, ao contrário do produto escalar, é novamente um vetor. O resultado do produto vetorial dos vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ é um vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ com estas propriedades:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \mathrm{sen}\alpha ,$$

em que α é o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Além disso, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ é perpendicular aos dois vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. O sentido resultante segue a regra da mão direita. Para distinguir o produto vetorial do escalar, usamos no vetorial o sinal ×: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Na figura está representado um possível produto vetorial $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. O resultado é o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, perpendicular aos dois vetores. Estamos no espaço, então os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ estão em um mesmo plano e o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ é perpendicular a esse plano.

Se um vetor é combinação linear do outro, o produto vetorial deles é igual ao vetor nulo. Isso cobre os casos em que os dois vetores estão sobre uma mesma reta. Se pelo menos um dos vetores é nulo, o produto também é nulo.

Como encontrar as coordenadas do vetor resultante

Até agora sabemos calcular o módulo e a direção do vetor resultante. Porém, o mais prático é conhecer diretamente as coordenadas desse vetor. A fórmula é esta:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Essa fórmula é difícil de memorizar, e por isso existe um macete para lembrá-la:

Com essa tabela já podemos multiplicar vetores com facilidade. Exemplo: considere os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0,5,0)$. São vetores que ficam inteiramente sobre o eixo x e o eixo y, respectivamente. O produto vetorial deles será igual a:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

O vetor resultante $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ tem coordenadas (0, 0, 20). Podemos conferir que o resultado está correto pela primeira definição, que diz que

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{sen}\alpha ,$$

Nosso vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ tem módulo 20. Pela fórmula, deve valer:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{sen}\alpha$$

Substituímos:

$$20=4\cdot 5\cdot \mathrm{sen}{90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Para que serve

Com o produto vetorial podemos, evidentemente, encontrar um vetor perpendicular a outros dois vetores. Podemos conferir de novo que é mesmo assim usando o produto escalar. O resultado deve ser zero. Verificação para o exemplo anterior:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Outro exemplo de uso é o cálculo da área de um paralelogramo no espaço. Se temos um paralelogramo ABCD no espaço e os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ formados pelos lados AB e AD, a área do paralelogramo é igual a $\text{Área}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Se temos no espaço um triângulo ABC e os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ formados pelos lados AB e AC, a área dele é igual a $\text{Área}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Exemplo: calcule a área do triângulo no espaço formado pelos vértices A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) e C(3, 5, 4).

Primeiro precisamos determinar os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Agora calculamos o produto deles:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-19,6,8)$$

E em seguida o módulo:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

E, por fim, dividimos o resultado por dois:

$$\text{Área}(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$