✖

Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat a térben két vektor között értelmezett művelet, amely egy új vektort ad, és ez a vektor merőleges erre a két vektorra.

Mi a vektoriális szorzat

A vektoriális szorzatot két vektor között értelmezzük, és csak a térben. A skaláris szorzattal ellentétben az eredménye újra vektor. Az u→ és a v→ vektor vektoriális szorzata az a w→ vektor, amelynek ezek a tulajdonságai:

|w→|=|u→|⋅|v→|⋅sin⁡α,

ahol α az u→ és a v→ vektor hajlásszöge. Továbbá a w→ vektor merőleges mind az u→, mind a v→ vektorra. Az eredmény irányát a jobbkéz-szabály adja meg. Hogy a vektoriális szorzatot megkülönböztessük a skalárisról, a vektoriálisnál a × jelet használjuk: u→×v→.

Az u⃗ \times v⃗ vektoriális szorzat

Az ábrán az u→×v→ vektoriális szorzat egy lehetséges esete látható. Az eredmény a w→ vektor, amely mindkét vektorra merőleges. A térben mozgunk, így az u→ és a v→ vektor egy síkban van, a w→ vektor pedig erre a síkra merőleges.

Ha az egyik vektor a másik lineáris kombinációja, akkor a vektoriális szorzatuk a nullvektor. Ez azokat az eseteket írja le, amikor mindkét vektor egy egyenesen fekszik. Ha legalább az egyik vektor nullvektor, akkor a szorzat is nullvektor.

Hogyan határozzuk meg a kapott vektor koordinátáit

Eddig a kapott vektor hosszát és irányát tudjuk meghatározni. Praktikusabb azonban, ha közvetlenül a koordinátáit ismerjük. Maga a képlet így néz ki:

u×v=(u2v3−v2u3;u3v1−v3u1;u1v2−v1u2)

Ezt a képletet elég nehéz megjegyezni, ezért van egy segédlet, amellyel könnyebb megjegyezni:

Segédlet a vektoriális szorzathoz

Ezzel a táblázattal már szépen szorozhatunk vektorokat. Példa: legyen u→(4;0;0) és v→(0;5;0). Ezek olyan vektorok, amelyek teljes egészében az x, illetve az y tengelyen fekszenek. A vektoriális szorzatuk:

u→0040v→5005u→×v→0020

A kapott w→ vektor koordinátái (0; 0; 20). Azt, hogy az eredmény helyes, ellenőrizhetjük az első definíció alapján. Eszerint

|w|=|u|⋅|v|⋅sin⁡α,

A w→ vektorunk hossza 20. A képlet szerint tehát teljesülnie kell:

20=|u|⋅|v|⋅sin⁡α

Behelyettesítünk:

20=4⋅5⋅sin⁡90∘=20⋅1=20.

Mire jó ez

A vektoriális szorzattal nyilván találhatunk olyan vektort, amely merőleges két másik vektorra. Hogy ez valóban így van, megint ellenőrizhetjük a skaláris szorzattal. Az eredménynek nullának kell lennie. Ellenőrzés az előző példára:

u→⋅w→=4⋅0+0+0⋅20=0v→⋅w→=0+5⋅0+0⋅20=0

Másik felhasználási példa a térbeli paralelogramma területének kiszámítása. Ha adott az ABCD paralelogramma a térben, és az u→ és a v→ vektort az AB és az AD oldal alkotja, akkor a paralelogramma területe T=|u→×v→|. Ha adott az ABC háromszög a térben, és az u→ és a v→ vektort az AB és az AC oldal alkotja, akkor a területe T=12|u→×v→|.

Példa: számítsd ki annak a térbeli háromszögnek a területét, amelynek csúcsai A(1; 0; 3), B(5; 6; 8) és C(3; 5; 4).

Először meg kell határoznunk az u→ és a v→ vektort.

u=B−A=(4;6;5)v=C−A=(2;5;1)

Most kiszámítjuk a szorzatukat:

w→=u→×v→=(−19;6;8)

Majd a hosszát:

|w→|=(−19)2+62+82=461≈21,47

És végül az eredményt elosztjuk kettővel:

T(△ABC)=21,472=10,735

Fejezetek: Vektorok, Műveletek vektorokkal, Skaláris szorzat, Vektoriális szorzat