Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è un’operazione nello spazio tra due vettori che ci restituisce un nuovo vettore, perpendicolare a entrambi.

Che cos’è il prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è definito tra due vettori e soltanto nello spazio. Il risultato del prodotto vettoriale, a differenza del prodotto scalare, è di nuovo un vettore. Il risultato del prodotto vettoriale dei vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ è un vettore $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ con queste proprietà:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \mathrm{sen}\alpha ,$$

dove α è l’angolo tra i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Inoltre il vettore $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ è perpendicolare a entrambi i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Il verso risultante segue la regola della mano destra. Per distinguere il prodotto vettoriale da quello scalare, nel prodotto vettoriale usiamo il segno ×: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Nella figura è rappresentato un possibile prodotto vettoriale $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Il risultato è il vettore $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, perpendicolare a entrambi i vettori. Ci muoviamo nello spazio, quindi i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ stanno in uno stesso piano e il vettore $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ è perpendicolare a questo piano.

Se un vettore è una combinazione lineare dell’altro, il loro prodotto vettoriale è uguale al vettore nullo. Questo riguarda i casi in cui entrambi i vettori stanno su una stessa retta. Se almeno un vettore è nullo, è nullo anche il prodotto.

Come trovare le coordinate del vettore risultante

Finora sappiamo calcolare il modulo, la direzione e il verso del vettore risultante. Più pratico, però, è conoscere direttamente le sue coordinate. La formula è la seguente:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3;u_3{v}_1-v_3{u}_1;u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Questa formula è piuttosto difficile da ricordare, per questo esiste un trucco per memorizzarla:

Con questa tabella possiamo moltiplicare i vettori con facilità. Esempio: prendiamo i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(4;0;0)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0;5;0)$. Sono vettori che giacciono interamente sull’asse x e sull’asse y rispettivamente. Il loro prodotto vettoriale è:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Il vettore risultante $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ ha coordinate (0; 0; 20). Possiamo verificare che il risultato è corretto con la prima definizione, che dice che

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{sen}\alpha ,$$

Il nostro vettore $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ ha modulo 20. Secondo la formula deve quindi valere:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{sen}\alpha$$

Sostituiamo:

$$20=4\cdot 5\cdot \mathrm{sen}{90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

A che cosa serve

Con il prodotto vettoriale possiamo evidentemente trovare un vettore perpendicolare ad altri due vettori. Che sia davvero così, possiamo verificarlo ancora con il prodotto scalare. Il risultato deve essere zero. La verifica per l’esempio precedente:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Un altro esempio di utilizzo è il calcolo dell’area di un parallelogramma nello spazio. Se abbiamo un parallelogramma ABCD nello spazio e i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ formati dai lati AB e AD, l’area del parallelogramma è uguale a $\mathcal{A}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Se abbiamo nello spazio un triangolo ABC e i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ formati dai lati AB e AC, la sua area è uguale a $\mathcal{A}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Esempio: calcola l’area del triangolo nello spazio di vertici A(1; 0; 3), B(5; 6; 8) e C(3; 5; 4).

Per prima cosa dobbiamo determinare i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4;6;5)\\ v& =& C-A=(2;5;1)\end{array}$$

Ora calcoliamo il loro prodotto:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-19;6;8)$$

E poi il modulo:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Infine dividiamo il risultato per due:

$$\mathcal{A}(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$