Krydsprodukt

Krydsproduktet er en operation i rummet mellem to vektorer, som giver os en ny vektor, der står vinkelret på disse to vektorer.

Hvad er et krydsprodukt

Krydsproduktet er defineret mellem to vektorer og kun i rummet. Resultatet af krydsproduktet er i modsætning til skalarproduktet igen en vektor. Resultatet af krydsproduktet af vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ er en vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, som har disse egenskaber:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \sin \alpha ,$$

hvor α er vinklen mellem vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Desuden står vektoren $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vinkelret på begge vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Den resulterende retning følger så højrehåndsreglen. For at adskille krydsproduktet fra skalarproduktet bruger vi ved krydsproduktet tegnet ×: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

På figuren er vist et muligt krydsprodukt $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Resultatet er vektoren $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, som står vinkelret på begge vektorer. Vi bevæger os i rummet, så vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ligger i samme plan, og vektoren $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ står vinkelret på dette plan.

Hvis den ene vektor er en linearkombination af den anden, gælder det, at deres krydsprodukt er lig med nulvektoren. Det dækker de tilfælde, hvor begge vektorer ligger på samme linje. Hvis mindst en vektor er nulvektoren, er også det resulterende produkt nul.

Sådan finder du den resulterende vektors koordinater

Indtil videre kan vi beregne den resulterende vektors længde og retning. Mere praktisk er det dog at kende direkte koordinaterne til sådan en vektor. Selve formlen ser sådan ud:

$$u\times v=\left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-v_2{u}_3\\ u_3{v}_1-v_3{u}_1\\ u_1{v}_2-v_1{u}_2\end{array}\right)$$

Den her formel er ret svær at huske, derfor findes der en huskeregel:

Ved hjælp af denne tabel kan vi nu nemt gange vektorer. Eksempel: Lad os have vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$. Det er vektorer, som helt ligger på henholdsvis x-aksen og y-aksen. Deres krydsprodukt bliver lig med:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Den resulterende vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ har koordinaterne $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)$. At resultatet er rigtigt, kan vi kontrollere ud fra den første definition. Den siger, at

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Vores vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ har længden 20. Ifølge formlen skal der altså gælde:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Vi indsætter:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Hvad er det godt for

Ved hjælp af krydsproduktet kan vi åbenbart finde en vektor, som står vinkelret på to andre vektorer. At det virkelig forholder sig sådan, kan vi igen kontrollere med skalarproduktet. Resultatet skal være nul. Kontrol for det foregående eksempel:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Et andet eksempel på anvendelse er beregning af arealet af et parallelogram i rummet. Hvis vi har et parallelogram ABCD i rummet og vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, som er dannet af siderne AB og AD, så er parallelogrammets areal lig med $\text{areal}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Hvis vi har en trekant ABC i rummet og vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dannet af siderne AB og AC, så er dens areal lig med $T=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Eksempel: Beregn arealet af en trekant i rummet, som er dannet af hjørnerne: A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) og C(3, 5, 4).

Først skal vi bestemme vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 5\end{array}\right)\\ v& =& C-A=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

Nu beregner vi deres produkt:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}-19\\ 6\\ 8\end{array}\right)$$

Og derefter længden:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Og til sidst dividerer vi resultatet med to:

$$T(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$