Produit vectoriel

Le produit vectoriel est une opération, définie dans l’espace, qui associe à deux vecteurs un nouveau vecteur orthogonal à chacun d’eux.

Qu’est-ce que le produit vectoriel ?

Le produit vectoriel n’est défini qu’entre deux vecteurs et uniquement dans l’espace. Contrairement au produit scalaire, son résultat est encore un vecteur. Le produit vectoriel des vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ est le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ qui possède les propriétés suivantes :

$$\parallel \overrightarrow{\mathbf{w}}\parallel =\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\parallel \cdot \parallel \overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel \cdot \sin \alpha ,$$

où α est l’angle entre les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. De plus, le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ est orthogonal aux deux vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Son sens se détermine ensuite par la règle de la main droite. Pour distinguer le produit vectoriel du produit scalaire, on le note avec le signe × : $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$ (on rencontre aussi la notation $\overrightarrow{\mathbf{u}}\wedge \overrightarrow{\mathbf{v}}$).

La figure représente un produit vectoriel possible $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Le résultat est le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, orthogonal aux deux vecteurs. Nous nous plaçons dans l’espace : les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ sont donc dans un même plan, et le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ est perpendiculaire à ce plan.

Si l’un des vecteurs est une combinaison linéaire de l’autre, leur produit vectoriel est égal au vecteur nul. Cela couvre le cas où les deux vecteurs sont portés par une même droite. Si l’un au moins des vecteurs est nul, le produit l’est aussi.

Calcul des coordonnées du vecteur résultat

Jusqu’ici, on sait calculer la norme du vecteur résultat ainsi que sa direction et son sens. Il est toutefois plus pratique de connaître directement ses coordonnées. La formule elle-même s’écrit :

$$u\times v=\left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-v_2{u}_3\\ u_3{v}_1-v_3{u}_1\\ u_1{v}_2-v_1{u}_2\end{array}\right)$$

Cette formule n’est pas facile à retenir ; il existe donc une astuce mnémotechnique :

Grâce à ce tableau, on peut ensuite effectuer facilement ce produit. Exemple : considérons les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$. Il s’agit de vecteurs situés entièrement sur l’axe des abscisses x, respectivement sur l’axe des ordonnées y. Leur produit vectoriel vaut :

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Le vecteur résultat $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)$. On peut vérifier que ce résultat est correct grâce à la première définition, qui dit que

$$\parallel w\parallel =\parallel u\parallel \cdot \parallel v\parallel \cdot \sin \alpha ,$$

Notre vecteur $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ a pour norme 20. D’après la formule, on doit donc avoir :

$$20=\parallel u\parallel \cdot \parallel v\parallel \cdot \sin \alpha$$

On substitue :

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

À quoi cela sert-il ?

On peut évidemment utiliser le produit vectoriel pour trouver un vecteur orthogonal à deux autres vecteurs. Pour vérifier qu’il en est bien ainsi, on peut à nouveau utiliser le produit scalaire : le résultat doit être nul. Vérification pour l’exemple précédent :

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Autre application : le calcul de l’aire d’un parallélogramme dans l’espace. Si ABCD est un parallélogramme de l’espace et que $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ sont les vecteurs formés par les côtés AB et AD, son aire est égale à $\mathcal{A}=\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel$. Si l’on a un triangle ABC dans l’espace et les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ formés par les côtés AB et AC, son aire vaut $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel$.

Exemple : calcule l’aire du triangle de l’espace dont les sommets sont A(1 ; 0 ; 3), B(5 ; 6 ; 8) et C(3 ; 5 ; 4).

Il faut d’abord déterminer les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 5\end{array}\right)\\ v& =& C-A=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

Calculons maintenant leur produit :

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}-19\\ 6\\ 8\end{array}\right)$$

Puis la norme :

$$\parallel \overrightarrow{\mathbf{w}}\parallel =\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Enfin, on divise le résultat par deux :

$$\mathcal{A}(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$