Векторно произведение

Векторното произведение е действие в пространството между два вектора, което дава нов вектор, перпендикулярен на тези два.

Какво е векторно произведение

Векторното произведение е дефинирано между два вектора и само в пространството. Резултатът от векторното произведение, за разлика от скаларното произведение, отново е вектор. Резултатът от векторното произведение на векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ е векторът $\overrightarrow{w}$, който има следните свойства:

$$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \sin \alpha ,$$

където α е ъгълът между векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$. Освен това векторът $\overrightarrow{w}$ е перпендикулярен и на двата вектора $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$. Посоката му се определя от правилото на дясната ръка. За да различим векторното произведение от скаларното, при векторното използваме знака ×: $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$.

На чертежа е показано едно възможно векторно произведение $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. Резултатът е векторът $\overrightarrow{w}$, който е перпендикулярен на двата вектора. Работим в пространството, така че векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ лежат в една равнина, а векторът $\overrightarrow{w}$ е перпендикулярен на тази равнина.

Ако единият вектор е линейна комбинация на другия, то векторното им произведение е равно на нулевия вектор. Това обхваща случаите, когато двата вектора лежат на една права. Ако поне един вектор е нулев, то и произведението е нулево.

Как да намерим координатите на резултатния вектор

Засега можем да пресметнем дължината и посоката на резултатния вектор. По-практично обаче е да знаем направо координатите на такъв вектор. Самата формула изглежда така:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3;u_3{v}_1-v_3{u}_1;u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Тази формула се запомня доста трудно, затова има помощно средство, с което да я запомним:

С тази таблица вече можем удобно да умножаваме вектори. Пример: нека имаме векторите $\overrightarrow{u}(4;0;0)$ и $\overrightarrow{v}(0;5;0)$. Това са вектори, които лежат изцяло съответно на оста x и на оста y. Векторното им произведение ще бъде равно на:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Резултатният вектор $\overrightarrow{w}$ има координати (0; 0; 20). Можем да проверим, че резултатът е правилен, по първата дефиниция. Тя гласи, че

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Нашият вектор $\overrightarrow{w}$ има дължина 20. Според формулата трябва да е изпълнено:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Заместваме:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

За какво е полезно

Очевидно с помощта на векторното произведение можем да намерим вектор, който е перпендикулярен на други два вектора. Че наистина е така, можем отново да проверим със скаларното произведение. Резултатът трябва да бъде нула. Проверка за предишния пример:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Друг пример за приложение е пресмятане на лицето на успоредник в пространството. Ако имаме успоредник ABCD в пространството и вектори $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$, образувани от страните AB и AD, то лицето на успоредника е равно на $S=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$. Ако имаме в пространството триъгълник ABC и вектори $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$, образувани от страните AB и AC, то лицето му е равно на $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$.

Пример: пресметни лицето на триъгълника в пространството с върхове A(1; 0; 3), B(5; 6; 8) и C(3; 5; 4).

Първо трябва да определим векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4;6;5)\\ v& =& C-A=(2;5;1)\end{array}$$

Сега пресмятаме произведението им:

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(-19;6;8)$$

След това дължината:

$$|\overrightarrow{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

И накрая разделяме резултата на две:

$$S(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$