Producto vectorial

El producto vectorial es una operación en el espacio entre dos vectores que nos devuelve un vector nuevo, perpendicular a estos dos vectores.

Qué es el producto vectorial

El producto vectorial se define entre dos vectores y solo en el espacio. El resultado del producto vectorial, a diferencia del producto escalar, es de nuevo un vector. El resultado del producto vectorial de los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ es un vector $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ que tiene estas propiedades:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \mathrm{sen}\alpha ,$$

donde α es el ángulo entre los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Además, el vector $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ es perpendicular a los dos vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. El sentido resultante se rige por la regla de la mano derecha. Para distinguir el producto vectorial del escalar, en el vectorial usamos el signo ×: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

En la figura se muestra un posible producto vectorial $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. El resultado es un vector $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ que es perpendicular a los dos vectores. Nos movemos en el espacio, así que los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ están en un mismo plano y el vector $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ es perpendicular a ese plano.

Si un vector es combinación lineal del otro, su producto vectorial es igual al vector nulo. Esto corresponde a los casos en que los dos vectores están en una misma recta. Si al menos uno de los vectores es nulo, el producto resultante también es nulo.

Cómo hallar las coordenadas del vector resultante

Hasta ahora sabemos calcular el módulo, la dirección y el sentido del vector resultante. Sin embargo, es más práctico conocer directamente las coordenadas de ese vector. La fórmula en sí es esta:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Esta fórmula es bastante difícil de recordar, por eso existe una regla mnemotécnica para recordarla:

Con esta tabla ya podemos multiplicar vectores con facilidad. Ejemplo: tenemos los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0,5,0)$. Son vectores que están por completo en el eje x y en el eje y, respectivamente. Su producto vectorial será igual a:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

El vector resultante $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ tiene coordenadas (0, 0, 20). Podemos comprobar que el resultado es correcto con la primera definición, que dice que

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{sen}\alpha ,$$

Nuestro vector $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ tiene módulo 20. Según la fórmula, debe cumplirse:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{sen}\alpha$$

Sustituimos:

$$20=4\cdot 5\cdot \mathrm{sen}{90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Para qué sirve

Evidentemente, con el producto vectorial podemos hallar un vector que sea perpendicular a otros dos vectores. De nuevo podemos comprobar con el producto escalar que realmente es así. El resultado debe ser cero. Comprobación para el ejemplo anterior:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Otro ejemplo de uso es el cálculo del área de un paralelogramo en el espacio. Si tenemos un paralelogramo ABCD en el espacio y los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ formados por los lados AB y AD, el área del paralelogramo es igual a $\text{Área}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Si tenemos en el espacio un triángulo ABC y los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ formados por los lados AB y AC, su área es igual a $\text{Área}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Ejemplo: calcula el área del triángulo en el espacio formado por los vértices A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) y C(3, 5, 4).

Primero tenemos que determinar los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Ahora calculamos su producto:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-19,6,8)$$

Y a continuación el módulo:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Y por último dividimos el resultado entre dos:

$$\text{Área}(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$