Uitproduct

Het uitproduct (vectorproduct, kruisproduct) is een bewerking in de ruimte tussen twee vectoren die ons een nieuwe vector geeft die loodrecht op die twee vectoren staat.

Wat is het uitproduct

Het uitproduct is gedefinieerd tussen twee vectoren en alleen in de ruimte. De uitkomst van het uitproduct is, anders dan bij het inproduct, weer een vector. De uitkomst van het uitproduct van de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ is een vector $\overrightarrow{w}$ met de volgende eigenschappen:

$$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \sin \alpha ,$$

waarbij α de hoek tussen de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ is. Verder staat de vector $\overrightarrow{w}$ loodrecht op beide vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$. De richting volgt dan de rechterhandregel. Om het uitproduct van het inproduct te onderscheiden, gebruiken we bij het uitproduct het teken ×: $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$.

In de tekening zie je een mogelijk uitproduct $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. De uitkomst is een vector $\overrightarrow{w}$ die loodrecht op beide vectoren staat. We werken in de ruimte, dus de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ liggen in één vlak en de vector $\overrightarrow{w}$ staat loodrecht op dat vlak.

Als de ene vector een lineaire combinatie van de andere is, dan is hun uitproduct gelijk aan de nulvector. Dat dekt de gevallen waarin beide vectoren op één lijn liggen. Als minstens een vector de nulvector is, dan is ook het uitproduct nul.

Hoe vind je de coördinaten van de uitkomst

Tot nu toe kunnen we de lengte en de richting van de uitkomst berekenen. Handiger is het om meteen de coördinaten van zo'n vector te kennen. De formule zelf ziet er zo uit:

$$u\times v=\left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-v_2{u}_3\\ u_3{v}_1-v_3{u}_1\\ u_1{v}_2-v_1{u}_2\end{array}\right)$$

Deze formule onthoud je vrij moeilijk, daarom is er een geheugensteun:

Met deze tabel kunnen we vectoren prima vermenigvuldigen. Voorbeeld: we hebben de vectoren $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$. Dit zijn vectoren die helemaal op de x-as, respectievelijk de y-as liggen. Hun uitproduct is gelijk aan:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

De uitkomst $\overrightarrow{w}$ heeft de coördinaten $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)$. Dat het resultaat klopt, kunnen we controleren met de eerste definitie. Die zegt dat

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Onze vector $\overrightarrow{w}$ heeft lengte 20. Volgens de formule moet dus gelden:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

We vullen in:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Waar is het goed voor

Met het uitproduct kunnen we kennelijk een vector vinden die loodrecht op twee andere vectoren staat. Dat dit werkelijk zo is, kunnen we weer controleren met het inproduct. De uitkomst moet nul zijn. Controle voor het vorige voorbeeld:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Een ander gebruik is het berekenen van de oppervlakte van een parallellogram in de ruimte. Als we een parallellogram ABCD in de ruimte hebben en de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ die door de zijden AB en AD gevormd worden, dan is de oppervlakte van het parallellogram gelijk aan $|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$. Als we in de ruimte een driehoek ABC hebben en de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ gevormd door de zijden AB en AC, dan is de oppervlakte gelijk aan $\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$.

Voorbeeld: bereken de oppervlakte van de driehoek in de ruimte met hoekpunten A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) en C(3, 5, 4).

Eerst moeten we de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ bepalen.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 5\end{array}\right)\\ v& =& C-A=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

Nu berekenen we hun uitproduct:

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-19\\ 6\\ 8\end{array}\right)$$

En daarna de lengte:

$$|\overrightarrow{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

En ten slotte delen we de uitkomst door twee:

$$\text{oppervlakte}(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$