Vektorprodukt

Vektorprodukten är en operation mellan två vektorer i rummet som ger en ny vektor som är vinkelrät mot båda.

Vad är vektorprodukten?

Vektorprodukten (kryssprodukten) är definierad mellan två vektorer och enbart i rummet. Till skillnad från skalärprodukten är resultatet av vektorprodukten återigen en vektor. Vektorprodukten av vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ är en vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ med följande egenskaper:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \sin \alpha ,$$

där α är vinkeln mellan vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Vidare är vektorn $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vinkelrät mot båda vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Riktningen bestäms av högerhandsregeln. För att skilja vektorprodukten från skalärprodukten använder vi tecknet ×: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Figuren visar en möjlig vektorprodukt $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Resultatet är en vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ som är vinkelrät mot båda vektorerna. Vi befinner oss i rummet, så vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ligger i ett plan och vektorn $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ är vinkelrät mot det planet.

Om den ena vektorn är en linjärkombination av den andra är deras vektorprodukt nollvektorn. Det gäller de fall då båda vektorerna ligger på samma linje. Om minst en vektor är nollvektorn är också produkten nollvektorn.

Så beräknar du koordinaterna för den resulterande vektorn

Hittills kan vi bestämma den resulterande vektorns längd och riktning. Det är dock mer praktiskt att känna koordinaterna direkt. Själva formeln ser ut så här:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Den här formeln är ganska svår att komma ihåg, så det finns ett knep som hjälper oss:

Med den här tabellen kan vi multiplicera vektorer helt smidigt. Exempel: vi har vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0,5,0)$. De ligger helt på x-axeln respektive y-axeln. Deras vektorprodukt blir

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Den resulterande vektorn $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ har koordinaterna (0, 0, 20). Vi kan kontrollera att resultatet är rätt med den första definitionen. Den säger att

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Vår vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ har längden 20. Enligt formeln måste alltså följande gälla:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Vi sätter in:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Vad är den bra för?

Med vektorprodukten kan vi uppenbarligen hitta en vektor som är vinkelrät mot två andra vektorer. Att det verkligen stämmer kan vi återigen kontrollera med skalärprodukten. Resultatet måste vara noll. Kontroll för föregående exempel:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Ett annat användningsområde är beräkning av arean av ett parallellogram i rummet. Om vi har ett parallellogram ABCD i rummet och vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ som bildas av sidorna AB och AD är parallellogrammets area lika med $A=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Om vi har en triangel ABC i rummet och vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ som bildas av sidorna AB och AC är dess area lika med $A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Exempel: beräkna arean av en triangel i rummet med hörnen A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) och C(3, 5, 4).

Först måste vi bestämma vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Nu beräknar vi deras produkt:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-19,6,8)$$

Sedan längden:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Till sist delar vi resultatet med två:

$$A(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$