Εξωτερικό γινόμενο

Το εξωτερικό γινόμενο είναι μια πράξη στον χώρο ανάμεσα σε δύο διανύσματα, που μας επιστρέφει ένα νέο διάνυσμα κάθετο σε αυτά τα δύο διανύσματα.

Τι είναι το εξωτερικό γινόμενο

Το εξωτερικό γινόμενο ορίζεται ανάμεσα σε δύο διανύσματα και μόνο στον χώρο. Αποτέλεσμα του εξωτερικού γινομένου, σε αντίθεση με το εσωτερικό γινόμενο, είναι πάλι διάνυσμα. Αποτέλεσμα του εξωτερικού γινομένου των διανυσμάτων $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ είναι το διάνυσμα $\overrightarrow{w}$, που έχει τις εξής ιδιότητες:

$$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha ,$$

όπου α είναι η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$. Επιπλέον, το διάνυσμα $\overrightarrow{w}$ είναι κάθετο και στα δύο διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$. Η φορά του προκύπτει από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Για να ξεχωρίζουμε το εξωτερικό γινόμενο από το εσωτερικό, στο εξωτερικό χρησιμοποιούμε το σύμβολο ×: $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$.

Στο σχήμα παριστάνεται ένα δυνατό εξωτερικό γινόμενο $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. Αποτέλεσμα είναι το διάνυσμα $\overrightarrow{w}$, που είναι κάθετο και στα δύο διανύσματα. Κινούμαστε στον χώρο, άρα τα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ βρίσκονται σε ένα επίπεδο και το διάνυσμα $\overrightarrow{w}$ είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο.

Αν το ένα διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός του άλλου, τότε το εξωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα. Αυτό καλύπτει τις περιπτώσεις όπου και τα δύο διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αν τουλάχιστον ένα διάνυσμα είναι μηδενικό, τότε και το γινόμενο είναι μηδενικό.

Πώς βρίσκουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος που προκύπτει

Μέχρι τώρα ξέρουμε να υπολογίζουμε το μέτρο και την κατεύθυνση του διανύσματος που προκύπτει. Πιο πρακτικό όμως είναι να ξέρουμε απευθείας τις συντεταγμένες ενός τέτοιου διανύσματος. Ο ίδιος ο τύπος έχει την εξής μορφή:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Αυτόν τον τύπο δύσκολα τον θυμάται κανείς, γι᾽ αυτό υπάρχει ένα βοήθημα για να τον θυμόμαστε:

Με αυτόν τον πίνακα μπορούμε πια να πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα πανεύκολα. Παράδειγμα: έστω τα διανύσματα $\overrightarrow{u}=(4,0,0)$ και $\overrightarrow{v}=(0,5,0)$. Είναι διανύσματα που βρίσκονται ολόκληρα πάνω στον άξονα x'x και στον άξονα y'y αντίστοιχα. Το εξωτερικό τους γινόμενο θα είναι ίσο με:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Το διάνυσμα $\overrightarrow{w}$ που προκύπτει έχει συντεταγμένες (0, 0, 20). Ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό μπορούμε να το επαληθεύσουμε με τον πρώτο ορισμό. Αυτός λέει ότι

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha ,$$

Το διάνυσμά μας $\overrightarrow{w}$ έχει μέτρο 20. Σύμφωνα με τον τύπο πρέπει να ισχύει:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha$$

Αντικαθιστούμε:

$$20=4\cdot 5\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }{90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Σε τι χρησιμεύει

Προφανώς με το εξωτερικό γινόμενο μπορούμε να βρούμε ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο άλλα διανύσματα. Ότι πράγματι έτσι είναι, μπορούμε να το επαληθεύσουμε πάλι με το εσωτερικό γινόμενο. Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μηδέν. Επαλήθευση για το προηγούμενο παράδειγμα:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Ένα ακόμα παράδειγμα χρήσης είναι ο υπολογισμός του εμβαδού παραλληλογράμμου στον χώρο. Αν έχουμε παραλληλόγραμμο ABCD στον χώρο και τα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ που σχηματίζονται από τις πλευρές AB και AD, τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ίσο με $E=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$. Αν έχουμε στον χώρο τρίγωνο ABC και τα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ που σχηματίζονται από τις πλευρές AB και AC, τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με $E=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$.

Παράδειγμα: υπολόγισε το εμβαδόν του τριγώνου στον χώρο που σχηματίζεται από τις κορυφές: A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) και C(3, 5, 4).

Πρώτα πρέπει να προσδιορίσουμε τα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Τώρα υπολογίζουμε το γινόμενό τους:

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(-19,6,8)$$

Και στη συνέχεια το μέτρο:

$$|\overrightarrow{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Και τέλος διαιρούμε το αποτέλεσμα με το δύο:

$$E(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$