Produsul vectorial

Produsul vectorial este o operație în spațiu între doi vectori, care ne dă un vector nou, perpendicular pe acești doi vectori.

Ce este produsul vectorial

Produsul vectorial se definește între doi vectori și doar în spațiu. Rezultatul produsului vectorial, spre deosebire de produsul scalar, este tot un vector. Rezultatul produsului vectorial al vectorilor $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ este vectorul $\overrightarrow{w}$, care are următoarele proprietăți:

$$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \sin \alpha ,$$

unde α este unghiul dintre vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$. Mai departe, vectorul $\overrightarrow{w}$ este perpendicular pe amândoi vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$. Sensul rezultatului se stabilește după regula mâinii drepte. Ca să deosebim produsul vectorial de cel scalar, folosim la cel vectorial semnul ×: $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$.

În figură este reprezentat un posibil produs vectorial $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. Rezultatul este vectorul $\overrightarrow{w}$, perpendicular pe ambii vectori. Ne aflăm în spațiu, deci vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ sunt în același plan, iar vectorul $\overrightarrow{w}$ este perpendicular pe acest plan.

Dacă un vector este combinație liniară a celuilalt, produsul lor vectorial este egal cu vectorul nul. Aceasta cuprinde cazurile în care ambii vectori se află pe aceeași dreaptă. Dacă cel puțin un vector este nul, și produsul rezultat este nul.

Cum aflăm coordonatele vectorului rezultat

Până acum știm să calculăm modulul, direcția și sensul vectorului rezultat. Mai practic este însă să cunoaștem direct coordonatele unui astfel de vector. Formula arată așa:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Formula aceasta se reține destul de greu, de aceea există un procedeu ajutător pentru a o memora:

Cu ajutorul acestui tabel putem înmulți vectorii foarte frumos. Exemplu: fie vectorii $\overrightarrow{u}(4,0,0)$ și $\overrightarrow{v}(0,5,0)$. Sunt vectori care se află în întregime pe axa Ox, respectiv pe axa Oy. Produsul lor vectorial va fi egal cu:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Vectorul rezultat $\overrightarrow{w}$ are coordonatele (0, 0, 20). Putem verifica corectitudinea rezultatului cu prima definiție. Aceasta spune că

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Vectorul nostru $\overrightarrow{w}$ are modulul 20. După formulă trebuie deci să avem:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Înlocuim:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

La ce este bun

Evident, cu produsul vectorial putem găsi un vector perpendicular pe alți doi vectori. Că lucrurile stau într-adevăr așa, putem verifica din nou cu produsul scalar. Rezultatul trebuie să fie zero. Verificarea pentru exemplul precedent:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Un alt exemplu de utilizare este calculul ariei unui paralelogram în spațiu. Dacă avem paralelogramul ABCD în spațiu și vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ formați de laturile AB și AD, atunci aria paralelogramului este egală cu $\mathcal{A}=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$. Dacă avem în spațiu triunghiul ABC și vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ formați de laturile AB și AC, atunci aria lui este egală cu $\mathcal{A}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$.

Exemplu: calculează aria triunghiului din spațiu cu vârfurile A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) și C(3, 5, 4).

Mai întâi trebuie să determinăm vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Acum calculăm produsul lor:

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(-19,6,8)$$

Apoi modulul:

$$|\overrightarrow{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Iar la final împărțim rezultatul la doi:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}ABC}=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$