Vektörel Çarpım

Vektörel çarpım, uzayda iki vektör arasında yapılan bir işlemdir ve bu iki vektöre dik yeni bir vektör verir.

Vektörel Çarpım Nedir

Vektörel çarpım iki vektör arasında ve yalnızca uzayda tanımlanır. Skaler çarpımdan farklı olarak vektörel çarpımın sonucu yine bir vektördür. $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörlerinin vektörel çarpımının sonucu, şu özelliklere sahip $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vektörüdür:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \sin \alpha ,$$

burada α, $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörleri arasındaki açıdır. Ayrıca $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vektörü hem $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ hem $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörüne diktir. Sonuç vektörün yönü ise sağ el kuralına göre belirlenir. Vektörel çarpımı skaler çarpımdan ayırmak için vektörel çarpımda × işaretini kullanırız: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Şekilde olası bir $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörel çarpımı gösterilmiştir. Sonuç, iki vektöre de dik olan $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vektörüdür. Uzayda çalışıyoruz, dolayısıyla $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörleri aynı düzlemdedir ve $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vektörü bu düzleme diktir.

Bir vektör ötekinin doğrusal birleşimiyse, vektörel çarpımları sıfır vektöre eşittir. Bu, iki vektörün de aynı doğru üzerinde olduğu durumları kapsar. Vektörlerden en az biri sıfır vektörse çarpım da sıfırdır.

Sonuç Vektörün Koordinatları Nasıl Bulunur

Şimdilik sonuç vektörün uzunluğunu ve yönünü bulabiliyoruz. Ama bu vektörün koordinatlarını doğrudan bilmek daha kullanışlıdır. Formülün kendisi şöyledir:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Bu formülü akılda tutmak oldukça zordur, bu yüzden onu hatırlamak için bir hatırlatıcı kural var:

Bu tabloyla vektörleri artık rahatça çarpabiliriz. Örnek: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0,5,0)$ vektörleri verilsin. Bunlar sırasıyla tamamen x ve y ekseni üzerinde olan vektörlerdir. Vektörel çarpımları şuna eşit olur:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

$\overrightarrow{\mathbf{w}}$ sonuç vektörünün koordinatları (0, 0, 20)’dir. Sonucun doğru olduğunu ilk tanıma göre doğrulayabiliriz. O tanım şunu söyler:

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

$\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vektörümüzün uzunluğu 20’dir. Formüle göre şu eşitlik sağlanmalıdır:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Yerine yazarız:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Ne İşe Yarar

Vektörel çarpımla, verilen iki vektöre dik olan bir vektör bulabiliriz. Bunun gerçekten böyle olduğunu yine skaler çarpımla doğrulayabiliriz. Sonuç sıfır olmalıdır. Önceki örnek için doğrulama:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Bir başka kullanım alanı da uzayda paralelkenarın alanını hesaplamaktır. Uzayda ABCD paralelkenarı ve AB ile AD kenarlarının oluşturduğu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörleri verilmişse paralelkenarın alanı $A(ABCD)=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$ olur. Uzayda ABC üçgeni ve AB ile AC kenarlarının oluşturduğu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörleri verilmişse üçgenin alanı $A(ABC)=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$ olur.

Örnek: köşeleri A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) ve C(3, 5, 4) olan, uzaydaki üçgenin alanını hesapla.

Önce $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörlerini belirlememiz gerekir.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Şimdi bunların çarpımını hesaplarız:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-19,6,8)$$

Ardından uzunluğunu:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Son olarak sonucu ikiye böleriz:

$$A(ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$