Vektorprodukt

Vektorproduktet er en operasjon mellom to vektorer i rommet som gir oss en ny vektor som står vinkelrett på begge de to vektorene.

Hva er vektorproduktet

Vektorproduktet er definert mellom to vektorer og bare i rommet. Resultatet av vektorproduktet er, i motsetning til skalarproduktet, igjen en vektor. Resultatet av vektorproduktet av vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ er en vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ med disse egenskapene:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \sin \alpha ,$$

der α er vinkelen mellom vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Videre står vektoren $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ vinkelrett på begge vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Retningen følger høyrehåndsregelen. For å skille vektorproduktet fra skalarproduktet bruker vi tegnet × for vektorproduktet: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Figuren viser et mulig vektorprodukt $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Resultatet er vektoren $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, som står vinkelrett på begge vektorene. Vi er i rommet, så vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ligger i ett plan, og vektoren $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ står vinkelrett på dette planet.

Hvis den ene vektoren er en lineærkombinasjon av den andre, er vektorproduktet av dem lik nullvektoren. Det dekker tilfellene der begge vektorene ligger på samme linje. Hvis minst én vektor er nullvektoren, er også produktet null.

Slik finner du koordinatene til den resulterende vektoren

Til nå kan vi regne ut lengden og retningen til den resulterende vektoren. Det er likevel mer praktisk å kjenne selve koordinatene til en slik vektor. Formelen ser slik ut:

$$u\times v=[u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2]$$

Denne formelen er ganske vanskelig å huske, og derfor finnes det en huskeregel:

Med denne tabellen kan vi multiplisere vektorer på en grei måte. Eksempel: Vi har vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[4,0,0]$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=[0,5,0]$. Dette er vektorer som ligger helt langs henholdsvis x-aksen og y-aksen. Vektorproduktet av dem blir:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Den resulterende vektoren $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ har koordinatene [0, 0, 20]. At resultatet er riktig, kan vi kontrollere med den første definisjonen. Den sier at

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Vektoren vår $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ har lengden 20. Ifølge formelen må det da gjelde:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Vi setter inn:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Hva kan vi bruke det til

Med vektorproduktet kan vi altså finne en vektor som står vinkelrett på to andre vektorer. At det virkelig stemmer, kan vi kontrollere med skalarproduktet. Resultatet må være null. Kontroll for det forrige eksempelet:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Et annet bruksområde er utregning av arealet av et parallellogram i rommet. Hvis vi har et parallellogram ABCD i rommet og vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dannet av sidene AB og AD, er arealet av parallellogrammet lik $T_{ABCD}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Hvis vi har en trekant ABC i rommet og vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dannet av sidene AB og AC, er arealet lik $T_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Eksempel: Regn ut arealet av en trekant i rommet med hjørnene A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) og C(3, 5, 4).

Først må vi bestemme vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=[4,6,5]\\ v& =& C-A=[2,5,1]\end{array}$$

Nå regner vi ut vektorproduktet av dem:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=[-19,6,8]$$

Deretter lengden:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Til slutt deler vi resultatet på to:

$$T_{\mathrm{△}ABC}=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$