Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ist eine Operation zwischen zwei Vektoren im Raum, die uns einen neuen Vektor liefert, der auf diesen beiden Vektoren senkrecht steht.

Was ist das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt ist zwischen zwei Vektoren und nur im Raum definiert. Das Ergebnis des Vektorprodukts ist im Unterschied zum Skalarprodukt wieder ein Vektor. Das Ergebnis des Vektorprodukts der Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ist ein Vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, der diese Eigenschaften hat:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \sin \alpha ,$$

wobei α der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ist. Außerdem steht der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ senkrecht auf beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Die Richtung ergibt sich dann aus der Rechte-Hand-Regel. Um das Vektorprodukt vom Skalarprodukt zu unterscheiden, verwenden wir beim Vektorprodukt das Zeichen ×: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

In der Abbildung ist ein mögliches Vektorprodukt $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$ dargestellt. Das Ergebnis ist der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$, der auf beiden Vektoren senkrecht steht. Wir bewegen uns im Raum, also liegen die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ in einer Ebene, und der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ steht auf dieser Ebene senkrecht.

Ist ein Vektor eine Linearkombination des anderen, dann ist ihr Vektorprodukt gleich dem Nullvektor. Das erfasst die Fälle, in denen beide Vektoren auf einer Geraden liegen. Ist mindestens ein Vektor der Nullvektor, dann ist auch das Produkt der Nullvektor.

Wie man die Koordinaten des resultierenden Vektors bestimmt

Bisher können wir den Betrag und die Richtung des resultierenden Vektors berechnen. Praktischer ist es aber, direkt die Koordinaten eines solchen Vektors zu kennen. Die Formel selbst sieht so aus:

$$u\times v=\left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-v_2{u}_3\\ u_3{v}_1-v_3{u}_1\\ u_1{v}_2-v_1{u}_2\end{array}\right)$$

Diese Formel kann man sich ziemlich schwer merken, deshalb gibt es eine Merkhilfe:

Mit dieser Tabelle können wir Vektoren schon prima multiplizieren. Beispiel: Wir haben die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$. Das sind Vektoren, die ganz auf der x-Achse bzw. der y-Achse liegen. Ihr Vektorprodukt ist gleich:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Der resultierende Vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ hat die Koordinaten $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 20\end{array}\right)$. Dass das Ergebnis richtig ist, können wir anhand der ersten Definition überprüfen. Sie besagt, dass

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Unser Vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ hat den Betrag 20. Nach der Formel muss also gelten:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Wir setzen ein:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Wozu ist das gut

Mit dem Vektorprodukt können wir offensichtlich einen Vektor finden, der auf zwei weiteren Vektoren senkrecht steht. Dass das tatsächlich so ist, können wir wieder mit dem Skalarprodukt überprüfen. Das Ergebnis muss null sein. Die Überprüfung für das vorige Beispiel:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Eine weitere Anwendung ist die Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms im Raum. Haben wir ein Parallelogramm ABCD im Raum und die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, die durch die Seiten AB und AD gebildet werden, dann ist der Flächeninhalt des Parallelogramms gleich $A=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Haben wir im Raum ein Dreieck ABC und die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, die durch die Seiten AB und AC gebildet werden, dann ist sein Flächeninhalt gleich $A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Beispiel: Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum, das durch die Eckpunkte A(1 ∣ 0 ∣ 3), B(5 ∣ 6 ∣ 8) und C(3 ∣ 5 ∣ 4) gebildet wird.

Als Erstes müssen wir die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ bestimmen.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 5\end{array}\right)\\ v& =& C-A=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

Jetzt berechnen wir ihr Produkt:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}-19\\ 6\\ 8\end{array}\right)$$

Und anschließend den Betrag:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Und zum Schluss dividieren wir das Ergebnis durch zwei:

$$A(\mathrm{△}ABC)=\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$