内積

内積は2つのベクトルの間で定義され、ベクトルの大きさとそのなす角の関係を表します。

内積

内積は2つのベクトルの間で定義します。ふつうのかけ算と同じく、中央の点を使って $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ と書きます。内積の結果は実数で、ベクトルではありません。2つのベクトル $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ と $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ の内積は、次のようになります。

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

ベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の少なくとも一方が零ベクトルのときは、内積を次のように定義します。

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

内積には図形的にどんな意味があるのでしょうか。2つのベクトルの内積については、次の式も成り立ちます。

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

ここで α は2つのベクトルのなす角の大きさです。この式を使うと、2つのベクトルのなす角を簡単に求められます。この式をコサインについて解くと、次の式が得られます。

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

この式は平面で成り立つものです。空間で考えるときは、もう1つ次元を加える必要があります。ここで、内積の図形的な意味を図にかいてみましょう。

ベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の内積をベクトル $\overrightarrow{u}$ の大きさで割ると、線分 AD の長さが得られます。これは、ベクトル $\overrightarrow{v}$ をベクトル $\overrightarrow{u}$ の方向に正射影したものの大きさです。

直角かどうかを調べる

内積を使うと、ベクトルのなす角が 90° かどうかを調べられます。内積が0になるのはどんなときでしょうか。次の式を見ると……

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha$$

……積 $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$ はいつも0でないことがわかります（零ベクトルどうしのなす角は定義しないので、ここでは零ベクトルでないベクトルだけを考えます）。ベクトルの大きさはいつも正で、その積も正です。式全体を0にできるのはコサインだけです。コサインが0になるのはどんなときでしょうか。角が 90°（または 270°。ただしこの場合、直角は反対側にできます）のときです。したがって、2つのベクトルが垂直であることと、内積が0であることは同値です。

例として、3つのベクトル ${\overrightarrow{u}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{u}}_2=(2,1),{\overrightarrow{u}}_3=(1,4)$ を考えます。互いに垂直なのはどれでしょうか。すべての組の内積を順に計算します。

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

内積から、直角をなすのはベクトル ${\overrightarrow{u}}_1$ と ${\overrightarrow{u}}_2$ だけだとわかります。これらのベクトルの図を見てみましょう。

さらに、ベクトル ${\overrightarrow{u}}_1$ と ${\overrightarrow{u}}_3$ のなす角を計算してみましょう。式に代入するだけです。

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \fallingdotseq & \frac{14}{18.439}\end{array}$$

アークコサインを計算すると、角の大きさが求まります。なす角はおよそ 40° です。