ベクトルの演算

ベクトルでは、足し算やかけ算などの基本的な演算ができます。

ベクトルの和

2つのベクトルを足すには、両方を原点から始まるようにかき、平行四辺形をつくります。原点から始まる対角線が、和のベクトルです。もちろん、説明の図を用意してあります。

計算では、ベクトルの和は対応する成分の和になります。つまり、2つのベクトル $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ と $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ があるとき、和 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ は次のようになります。

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

図のベクトルは $\overrightarrow{u}=(2,4)$ と $\overrightarrow{v}=(4,1)$ です。和は $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+4,4+1)=(6,5)$ となります。この成分は点 D の座標と一致します。

ベクトルを引くのは、逆ベクトルを足すのと同じです。計算では次のようになります。

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

同じ直線上で同じ向きのベクトルを足すと、和のベクトルは大きさが足し合わされて伸びるだけです。逆向きなら、大きさを引き算します。図を見るとよくわかります。

ベクトルの和には交換法則と結合法則が成り立ちます。数と同じように $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$ となるベクトル $\overrightarrow{0}$ があり、これを零ベクトルといいます。どのベクトル $\overrightarrow{u}$ にも、$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$ となる逆ベクトル $-\overrightarrow{u}$ があります。

ベクトルの実数倍

ベクトルに実数 k をかけるときは、2つの成分にそれぞれ k をかけるだけです。図形的には、ベクトルが「伸びる」か「縮む」かし、k が負なら向きが逆になります。

図から、ベクトル $\overrightarrow{u}$ を k 倍すると次のようになることがわかります。

• k の絶対値が1より小さければ、ベクトルは短くなります。
• k の絶対値が1より大きければ、ベクトルは長くなります。
• k が負なら、ベクトルの向きは逆になります。

ベクトルの1次結合

線形代数では、ベクトルの1次結合（線形結合）をよく使います。ベクトル ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,{\overrightarrow{u}}_3,\dots$ があるとき、これらのベクトルの1次結合とは次のようなものです。

• ベクトル ${\overrightarrow{u}}_n$ のうちの1つの k 倍
• 任意の2つ以上のベクトルの和
• これらの組み合わせ。任意のベクトル ${\overrightarrow{u}}_n$ の k_n 倍を足し合わせたもの

ベクトル ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots ,{\overrightarrow{u}}_n$ があるとき、次の式が成り立てば、ベクトル $\overrightarrow{v}$ はベクトル ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots ,{\overrightarrow{u}}_n$ の1次結合です。

$$\overrightarrow{v}=c_1\cdot {\overrightarrow{u}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{u}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{u}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

係数 c_i は実数なので、0を選ぶこともできます。そうすると、そのベクトルは完全に消えます。例として、ベクトル ${\overrightarrow{u}}_1=(1,3),{\overrightarrow{u}}_2=(0,4),{\overrightarrow{u}}_3=(7,2)$ を考えます。1次結合の例をいくつか挙げます。

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$