Ristitulo

Ristitulo on avaruudessa kahden vektorin välinen laskutoimitus, jonka tulos on uusi vektori, joka on kohtisuorassa kumpaakin näistä kahdesta vektorista vastaan.

Mikä ristitulo on

Ristitulo määritellään kahden vektorin välille ja vain avaruudessa. Toisin kuin pistetulossa, ristitulon tulos on vektori. Vektorien $\overline{u}$ ja $\overline{v}$ ristitulo on vektori $\overline{w}$, jolla on seuraavat ominaisuudet:

$$|\overline{w}|=|\overline{u}|\cdot |\overline{v}|\cdot \sin \alpha ,$$

missä α on vektorien $\overline{u}$ ja $\overline{v}$ välinen kulma. Lisäksi vektori $\overline{w}$ on kohtisuorassa sekä vektoria $\overline{u}$ että vektoria $\overline{v}$ vastaan. Tuloksen suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan. Jotta ristitulo erotetaan pistetulosta, ristitulossa käytetään merkkiä ×: $\overline{u}\times \overline{v}$.

Kuvassa on esitetty mahdollinen ristitulo $\overline{u}\times \overline{v}$. Tulos on vektori $\overline{w}$, joka on kohtisuorassa kumpaakin vektoria vastaan. Liikumme avaruudessa, joten vektorit $\overline{u}$ ja $\overline{v}$ ovat samassa tasossa ja vektori $\overline{w}$ on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan.

Jos toinen vektoreista on toisen lineaarikombinaatio, niiden ristitulo on nollavektori. Tämä kattaa tapaukset, joissa molemmat vektorit ovat samalla suoralla. Jos ainakin toinen vektoreista on nollavektori, myös tulo on nollavektori.

Tulosvektorin koordinaattien laskeminen

Toistaiseksi osaamme laskea tulosvektorin pituuden ja suunnan. Käytännöllisempää on kuitenkin tuntea tällaisen vektorin koordinaatit suoraan. Itse kaava on seuraava:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Tätä kaavaa on aika hankala muistaa, joten sen muistamiseen on olemassa apukeino:

Tämän taulukon avulla voimme kertoa vektoreita mukavasti. Esimerkki: meillä on vektorit $\overline{u}=(4,0,0)$ ja $\overline{v}=(0,5,0)$. Ne ovat vektoreita, jotka ovat kokonaan x-akselilla ja vastaavasti y-akselilla. Niiden ristitulo on

$$\begin{array}{cccccccc}\overline{u}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overline{v}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overline{u}\times \overline{v}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Tulosvektorin $\overline{w}$ koordinaatit ovat (0, 0, 20). Tuloksen oikeellisuuden voimme tarkistaa ensimmäisen määritelmän avulla. Sen mukaan

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Vektorimme $\overline{w}$ pituus on 20. Kaavan mukaan täytyy siis päteä:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Sijoitetaan:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Mihin tätä tarvitaan

Ristitulon avulla voimme selvästi löytää vektorin, joka on kohtisuorassa kahta muuta vektoria vastaan. Että näin todella on, voimme taas tarkistaa pistetulolla. Tuloksen täytyy olla nolla. Tarkistus edelliselle esimerkille:

$$\begin{array}{rcl}\overline{u}\cdot \overline{w}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overline{v}\cdot \overline{w}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Toinen käyttöesimerkki on avaruudessa olevan suunnikkaan pinta-alan laskeminen. Jos avaruudessa on suunnikas ABCD ja sivujen AB ja AD muodostamat vektorit $\overline{u}$ ja $\overline{v}$, suunnikkaan pinta-ala on $|\overline{u}\times \overline{v}|$. Jos avaruudessa on kolmio ABC ja sivujen AB ja AC muodostamat vektorit $\overline{u}$ ja $\overline{v}$, sen pinta-ala on $\frac{1}{2}|\overline{u}\times \overline{v}|$.

Esimerkki: laske avaruudessa olevan kolmion pinta-ala, kun sen kärkipisteet ovat A = (1, 0, 3), B = (5, 6, 8) ja C = (3, 5, 4).

Ensin meidän täytyy määrittää vektorit $\overline{u}$ ja $\overline{v}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Nyt lasketaan niiden tulo:

$$\overline{w}=\overline{u}\times \overline{v}=(-19,6,8)$$

Sitten pituus:

$$|\overline{w}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21,47$$

Lopuksi tulos jaetaan kahdella:

$$\frac{21,47}{2}=\mathrm{10,735}$$

Kolmion ABC pinta-ala on siis noin 10,735.