Dadu tak transitif

Bayangkan anda mempunyai tiga biji dadu enam muka yang mempunyai sebarang nombor pada mukanya. Mungkinkah dadu A lebih kerap menunjukkan nombor yang lebih besar daripada dadu B, dadu B lebih kerap menunjukkan nombor yang lebih besar daripada dadu C, dan dadu C pula lebih kerap menunjukkan nombor yang lebih besar daripada dadu A?

Sifat transitif

Sifat transitif ialah konsep daripada hubungan binari. Hubungan R pada M dikatakan transitif jika bagi semua a, b, c ∈ M, apabila (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) juga berada dalam R.

Bagi dadu, kita boleh mempunyai hubungan “dadu yang lebih baik”, iaitu dadu A lebih baik daripada dadu B jika dadu A lebih kerap menunjukkan nombor yang lebih besar daripada dadu B. Maka, sifat transitif bermaksud: jika dadu A lebih baik daripada dadu B dan dadu B lebih baik daripada dadu C, maka dadu A juga mesti lebih baik daripada dadu C. Adakah hal ini benar?

Mari kita cari contoh penyangkal, iaitu tiga biji dadu yang lebih baik secara berkitar. Dadu A lebih baik daripada dadu B, dadu B lebih baik daripada dadu C, dan dadu C lebih baik daripada dadu A. Kita hanya mengambil kira dadu enam muka.

Contoh

Contohnya ialah tiga biji dadu berikut:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Berapakah kebarangkalian dadu A menunjukkan nombor yang lebih besar daripada dadu B? Terdapat 36 pasangan kesudahan yang berbeza bagi kedua-dua dadu. Jika dadu B menunjukkan nombor 1 yang pertama, dadu A sentiasa menunjukkan nombor yang lebih besar. Jadi, terdapat 6 pasangan dengan dadu A menunjukkan nombor yang lebih besar. Jika B menunjukkan nombor 1 yang kedua, terdapat 6 pasangan lagi dengan A menunjukkan nombor yang lebih besar. Jika salah satu nombor 6 muncul, A mesti menunjukkan salah satu nombor 9. Ini memberikan 4 kemungkinan lagi. Jika salah satu nombor 8 muncul, A mesti menunjukkan salah satu nombor 9. Sekali lagi 4 kemungkinan. Kesemuanya terdapat 6 + 6 + 4 + 4 = 20 kemungkinan. Jadi, kebarangkalian A menunjukkan nombor yang lebih besar ialah 20/36 = 5/9, iaitu kira-kira 56%.

Sekarang B lawan C. Jika C menunjukkan salah satu nombor 3, B mesti menunjukkan salah satu nombor 6 atau salah satu nombor 8. Kesemuanya 2 · 4 = 8 kemungkinan. Jika nombor 5 muncul, B sekali lagi mesti menunjukkan 6 atau 8, jadi 8 kemungkinan lagi. Jika nombor 7 muncul, B mesti menunjukkan nombor 8, iaitu 4 kemungkinan. Kesemuanya 8 + 8 + 4 = 20. Kebarangkaliannya sekali lagi 5/9.

Akhir sekali, C lawan A. Jika A menunjukkan nombor 2, semua nombor pada C lebih besar. Ini memberikan 12 kemungkinan. Jika nombor 4 muncul, C boleh menunjukkan 5 atau 7. Ini memberikan 8 kemungkinan. Jika nombor 9 muncul, nasib kita malang. Kesemuanya 12 + 8 = 20 kemungkinan, dan sekali lagi kita memperoleh kebarangkalian 5/9.

Dadu Efron

Dadu Efron ialah satu lagi contoh set dadu yang tidak transitif terhadap hubungan “dadu yang lebih baik”. Nombor pada dadu-dadu ini adalah seperti berikut:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Setiap dadu mengalahkan dadu berikutnya dengan kebarangkalian 2/3. Contohnya, apabila dadu A menunjukkan nombor 4, dadu itu menang ke atas dadu B. Apabila nombor 0 muncul, dadu itu kalah. Dadu A menunjukkan nombor 4 dengan kebarangkalian 2/3. Hal yang serupa berlaku bagi dadu yang lain.

Terdapat juga variasi lain bagi dadu Efron. Ada variasi yang semua dadunya mempunyai min yang sama bagi satu lambungan (dadu di atas tidak begitu: contohnya, dadu A secara purata menunjukkan nombor 8/3, manakala dadu C mempunyai min yang lebih tinggi, iaitu 10/3), dan ada pula variasi yang mukanya mengandungi semua nombor asli dari 1 hingga 24.

Sumber lain

• Wikipedia bahasa Inggeris