Nilai kebenaran formula

Jika kita menggabungkan beberapa pernyataan ringkas menjadi satu formula, kita boleh cuba menentukan sama ada formula itu secara keseluruhannya benar atau palsu.

Nilai kebenaran pernyataan

Pertama sekali, mari kita jelaskan maksud nilai kebenaran sesuatu pernyataan. Jika kita mempunyai pernyataan p, kita sepatutnya dapat menentukan sama ada pernyataan itu benar atau palsu. Pernyataan yang benar mempunyai nilai kebenaran 1, manakala pernyataan yang palsu mempunyai nilai kebenaran 0.

Penilaian kebenaran pula ialah petua e yang memberikan sama ada 0 atau 1 kepada sesuatu pernyataan. Apabila kita menulis e(p), kita ingin mengetahui nilai kebenaran pernyataan p. Jika p ialah pernyataan “dua darab dua ialah empat”, maka e(p) = 1 kerana pernyataan ini benar. Jika q ialah pernyataan “Kuala Lumpur ialah sebuah kampung kecil”, maka e(q) = 0 kerana Kuala Lumpur bukan kampung kecil. Jadi, e ialah fungsi yang memberitahu kita sama ada sesuatu pernyataan itu benar.

Perlu diingat bahawa e bukan fungsi ajaib yang mengetahui segala-galanya di dunia ini. Fungsi itu berkelakuan mengikut apa yang kita tetapkan. Fungsi itu tidak tahu sama ada Kuala Lumpur sebuah bandar raya atau sebuah kampung. Pada awal pengiraan, kita perlu mengisytiharkan cara fungsi penilaian itu berkelakuan. Jika kita memberitahunya bahawa Kuala Lumpur ialah sebuah kampung kecil, fungsi itu akan memberikan e(q) = 1.

Nilai kebenaran penghubung logik

Untuk menentukan nilai kebenaran sesuatu formula, kita perlu tahu cara menilai kebenaran penghubung logik. Dengan kata lain, jika kita mengetahui penilaian e(p) dan e(q), apakah nilai kebenaran formula p ∧ q, p ⇒ q dan sebagainya?

Setiap penghubung logik berkelakuan secara berbeza dan digunakan untuk tujuan yang berbeza, jadi kita akan membincangkan setiap penghubung secara berasingan.

Nilai kebenaran konjungsi

Konjungsi ditulis p ∧ q dan dibaca “p dan juga q”. Sebagai contoh, ambil formula “Malaysia terletak di Asia Tenggara dan juga ibu negaranya ialah Kuala Lumpur”. Bilakah seluruh ayat ini benar?

Penghubung “dan juga” itu sendiri membantu kita menentukan nilai kebenarannya. Penghubung ini menyatakan dengan jelas bahawa kedua-dua pernyataan di sebelah kiri dan kanan mesti benar. Jika kedua-dua pernyataan p dan q benar, iaitu e(p) = 1 dan e(q) = 1, maka seluruh konjungsi itu juga benar. Sebaliknya, jika salah satu pernyataan palsu atau kedua-duanya palsu, seluruh formula itu palsu.

Contoh konjungsi yang tidak benar ialah: “Sungai Pahang ialah sebuah sungai dan juga Sungai Pahang mengalir melalui Rusia”. Memang benar bahawa Sungai Pahang ialah sebuah sungai, tetapi tidak benar bahawa sungai itu mengalir melalui Rusia. Oleh itu, seluruh konjungsi itu tidak benar.

Jadual berikut meringkaskan perkara ini:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Dua lajur pertama mengandungi nilai kebenaran pernyataan p dan q, manakala lajur ketiga mengandungi nilai kebenaran formula p ∧ q.

Nilai kebenaran disjungsi

Disjungsi ditulis p ∨ q dan dibaca “p atau q”. Contoh: “Rusia terletak di Eropah atau di Asia.” Bilakah seluruh ayat ini benar?

Bagi disjungsi, cukuplah jika sekurang-kurangnya satu pilihan benar. Penghubung “atau” memberikan kita pilihan: cukup jika bahagian kirinya atau bahagian kanannya benar. Satu-satunya perbezaan kecil berbanding bahasa harian ialah “atau” dalam logik tetap benar walaupun kedua-dua pernyataan benar pada masa yang sama. Hal ini kurang lazim, kerana dalam bahasa harian kita sering menggunakan “atau” secara eksklusif, iaitu “sama ada … atau …”.

Ada satu jenaka klasik tentang perkara ini. Sebuah keluarga sedang memilih kereta baharu di kedai kereta terpakai. Si bapa berkata kepada penjual kereta, “Kami sudah memutuskan untuk membeli kereta biru atau kereta merah.” Penjual itu menjual kedua-dua kereta kepada mereka. Jenaka ini menggambarkan perbezaan antara “atau” dalam logik dengan “atau” dalam pertuturan: si bapa mungkin bermaksud bahawa mereka akan memilih satu sahaja daripada kedua-dua kereta itu, manakala penjual menganggap bahawa menjual kedua-duanya juga merupakan pilihan yang sah.

Ayat tentang Rusia sebelum ini benar kerana kedua-dua pernyataan benar. Ayat “nombor 7 boleh dibahagi tepat dengan 3 atau nombor 7 ialah nombor perdana” benar kerana tujuh ialah nombor perdana. Memang tujuh tidak boleh dibahagi tepat dengan tiga, tetapi hal itu tidak menjadi masalah. Jadual kebenarannya:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Nilai kebenaran implikasi

Implikasi ditulis p ⇒ q dan dibaca “jika p, maka q”. Contoh implikasi ialah ayat “jika kita makan terlalu banyak durian, maka kita akan sakit perut”. Bilakah ayat ini benar?

Implikasi logik ialah penghubung yang paling mengelirukan. Dalam bahasa harian pun, implikasi sering disalah faham dan dikelirukan dengan implikasi dua hala. Mari kita cuba menjawab soalan sama ada akasnya, q ⇒ p, juga benar.

Kita tahu bahawa jika kita makan terlalu banyak durian, kita akan sakit perut. Adakah benar juga bahawa jika kita sakit perut, kita telah makan terlalu banyak durian? Sudah tentu tidak. Mungkin kita makan makanan lain yang terlalu pedas dan tetap sakit perut, atau mungkin perut kita sakit kerana sebab yang lain sama sekali. Jadi, akas sesuatu implikasi tidak semestinya benar. Jika p ⇒ q benar dan q ⇒ p juga benar, kita mempunyai implikasi dua hala, seperti yang akan dibincangkan di bawah.

Satu lagi contoh: “jika esok hujan, maka Ali akan membawa payung”. Sekarang saya beritahu anda bahawa Ali telah membawa payung. Soalannya: adakah hujan turun pada hari itu? Ramai orang cenderung menjawab bahawa sudah tentu hujan turun, kerana Ali membawa payung apabila hujan akan turun. Tetapi ayat asal tidak dibina begitu!

Sebenarnya Ali mungkin membawa payung atas sebab lain yang tidak kita ketahui. Mungkin Ali selalu membawa payung apabila melawat ibu mentuanya kerana dia perlu berjalan jauh di bawah panas terik. Atau mungkin dia memutuskan untuk membeli payung baharu dan mahu membuang payung lamanya. Semua ini ialah sebab yang munasabah mengapa Ali mungkin membawa payung walaupun hujan tidak turun.

Sekarang kita boleh menjawab soalan bilakah implikasi itu benar. Jika kedua-dua pernyataan benar, implikasi itu sudah tentu benar: “jika 42 ialah nombor asli, maka nombor itu positif”. Kedua-dua pernyataan benar, jadi seluruh implikasi itu benar. Contoh lain ialah implikasi “jika 42 ialah nombor asli, maka nombor itu negatif”. Implikasi ini tidak benar kerana daripada sesuatu yang benar, kita cuba membuat kesimpulan tentang sesuatu yang tidak benar.

Akhir sekali, tinggal kes apabila pernyataan pertama palsu. Dalam kes ini, nilai kebenaran pernyataan kedua tidak penting lagi. Jika kita bermula daripada sesuatu yang palsu, kita boleh merepek apa-apa sahaja selepas itu. Contohnya, ayat seperti “jika 1 ialah nombor negatif, maka kita ialah dewa jenaka” atau “jika Gunung Kinabalu ialah sebuah syarikat pembinaan yang terkenal, maka matahari berwarna biru.” Dalam kes seperti ini, implikasi itu benar secara automatik kerana implikasi itu bermula daripada sesuatu yang palsu. Jadualnya:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Nilai kebenaran implikasi dua hala

Implikasi dua hala ditulis p ⇔ q dan dibaca “p jika dan hanya jika q”. Contoh implikasi dua hala ialah “nombor x boleh dibahagi tepat dengan dua jika dan hanya jika nombor itu genap”. Bilakah seluruh ayat ini benar?

Bagi implikasi dua hala, kita mengharapkan kedua-dua pernyataan saling berkait rapat: sama ada kedua-duanya benar, atau kedua-duanya palsu. Jadi, sama ada nombor x genap dan juga boleh dibahagi tepat dengan dua, atau nombor itu tidak bersifat kedua-duanya. Tidak mungkin x genap tetapi tidak boleh dibahagi tepat dengan dua.

Contoh: “Raju membaca buku jika dan hanya jika dia berada di dalam bas.” Supaya implikasi dua hala ini benar, setiap kali Raju berada di dalam bas, dia mesti membaca buku. Pada masa yang sama, setiap kali dia membaca buku, dia mesti berada di dalam bas. Tidak mungkin dia membaca buku, misalnya, di atas katil.

Implikasi dua hala boleh diungkapkan dengan dua implikasi. Jadi, p ⇔ q boleh ditulis semula sebagai p ⇒ q dan juga q ⇒ p. Jadualnya:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Penafian

Penafian ialah operasi unari. Penafian ditulis dengan simbol ¬p; dalam buku teks KSSM, penafian ditulis ∼ p. Penafian menafikan pernyataan asal. Jika kita mempunyai pernyataan “Siti ialah seorang penyanyi”, penafiannya ialah pernyataan “Tidak benar bahawa Siti ialah seorang penyanyi”, atau ringkasnya “Siti bukan seorang penyanyi”. Hampir selalu kita boleh membentuk penafian dengan meletakkan “Tidak benar bahawa…” di hadapan pernyataan itu.

Penafian menyongsangkan nilai kebenaran, iaitu 0 menjadi 1 dan 1 menjadi 0. Jadi, kita boleh menulis ¬0 = 1 dan ¬1 = 0.

Berhati-hati dengan beberapa perangkap. Ambil pernyataan “kapur berwarna putih”. Apakah penafiannya? Ada orang mungkin terfikir “kapur berwarna hitam”, tetapi itu tidak betul! Jika kita menggunakan petua tadi, penafiannya ialah pernyataan “tidak benar bahawa kapur berwarna putih”. Adakah ini semestinya bermaksud kapur itu berwarna hitam? Tidak, kapur itu mungkin berwarna merah jambu.

Jadual semua penghubung

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Nilai kebenaran seluruh formula

Kini kita sudah tahu cara menilai kebenaran dua pernyataan yang dihubungkan oleh penghubung logik. Seluruh formula dinilai dengan cara yang sama. Jika kita mempunyai formula (p ⇒ q) ∧ r dan kita menilai formula (p ⇒ q), misalnya, sebagai 1, kita memperoleh konjungsi biasa 1 ∧ r yang sudah boleh kita selesaikan.

Dengan menggunakan penghubung logik yang paling mudah langkah demi langkah, kita akan sampai kepada nilai kebenaran akhir bagi seluruh formula. Untuk tujuan ini, kaedah jadual kebenaran sering digunakan. Kaedah ini diterangkan di bawah.

Kaedah jadual kebenaran

Kaedah jadual kebenaran digunakan untuk menilai formula yang lebih rumit. Dalam n lajur pertama, kita tulis n pemboleh ubah usulan yang terdapat dalam formula itu. Dalam lajur seterusnya, kita letakkan subformula yang terkandung dalam formula itu satu demi satu. Perkara ini akan menjadi lebih jelas melalui contoh:

Katakan kita mempunyai formula (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Mula-mula, kita tulis semua pemboleh ubah usulan dalam jadual, iaitu p dan q, serta semua gabungan penilaiannya:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Kemudian kita tambah lajur bagi setiap subformula p ∨ q dan q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Sekarang kita menilai formula-formula ini dan mengisi lajurnya dengan sifar atau satu. Semua maklumat yang diperlukan sudah ada dalam jadual. Apabila menilai p ∨ q dalam baris pertama, kita gantikan p dengan 1 dan q juga dengan 1. Dengan itu, kita memperoleh ungkapan 1 ∨ 1. Nilai ungkapan ini ialah 1, jadi kita tulis satu dalam jadual:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Dengan cara ini, kita isi seluruh jadual langkah demi langkah:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Sekarang tinggal menilai seluruh formula. Mari kita namakan formula itu, misalnya, φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Kita tambah lajur φ dalam jadual dan menilainya dengan menggunakan dua lajur sebelumnya.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

Jadual ini kini lengkap dan memberikan nilai kebenaran formula itu bagi semua penilaian yang mungkin. Contohnya, jika e(p) = 1 dan juga e(q) = 1, formula itu benar. Jika e(p) = 0 dan e(q) = 1, formula itu tidak benar.

Perhatikan bahawa kita tidak boleh berkata “formula itu benar”. Ayat ini tidak bermakna, kerana untuk mengatakan bahawa formula itu benar, kita perlu menyatakan dalam penilaian yang mana formula itu benar. Jadi, kita boleh berkata “formula φ benar dalam penilaian e₁ dan tidak benar dalam penilaian e₂”.

Satu-satunya kes apabila kita boleh berkata bahawa sesuatu formula benar ialah apabila formula itu benar dalam semua penilaian yang mungkin. Contohnya, formula p ∨ ¬p benar dalam semua penilaian, jadi kita boleh berkata bahawa formula itu benar. Begitu juga bagi formula yang palsu dalam semua penilaian.

Formula seperti ini mempunyai nama khas. Formula yang benar dalam semua penilaian dipanggil tautologi. Formula yang tidak benar dalam sebarang penilaian dipanggil percanggahan (kontradiksi).