Persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik ialah persamaan yang mengandungi satu anu yang dikuasaduakan. Jika persamaan mengandungi anu dengan kuasa yang lebih tinggi daripada dua, persamaan itu bukan lagi persamaan kuadratik.

Penerangan persamaan kuadratik

Bentuk am persamaan kuadratik adalah seperti berikut:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Nilai a, b, c ialah nombor nyata, dan nilai a tidak sama dengan sifar. Istilah lain:

ax² dipanggil sebutan kuasa dua,
bx dipanggil sebutan linear,
c dipanggil sebutan pemalar.

Setiap persamaan kuadratik boleh diubah kepada bentuk am menggunakan operasi setara atau operasi lain. Contoh persamaan kuadratik ialah persamaan ini:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Soalan yang lebih sukar ialah sama ada persamaan ini juga persamaan kuadratik:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Tiada x² yang kelihatan, dan sebelah kanannya bukan sifar. Sebelah kanan mudah diuruskan: kita tolak tujuh dan memperoleh bentuk

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Masih tiada x². Kita kembangkan kurungan dan memperoleh:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Sekarang sudah ada x². Selepas menambahkan sebutan serupa, akhirnya kita memperoleh bentuk am persamaan kuadratik:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

Bagaimana pula dengan contoh berikut? Adakah persamaan ini persamaan kuadratik? Bolehkah persamaan ini diubah kepada bentuk am?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

Jawapannya: tidak boleh. Jika kita mendarab seluruh persamaan dengan pemboleh ubah x untuk menghapuskan pemboleh ubah dalam penyebut pecahan, kita memperoleh:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Sekarang terdapat x³, sesuatu yang tidak boleh wujud dalam persamaan kuadratik.

Terdapat jenis persamaan kuadratik yang khas bergantung pada nilai pekali a, b dan c.

Nilai pekali

Untuk bahagian-bahagian seterusnya, anda mesti benar-benar mahir menentukan setiap pekali a, b dan c. Mari kita mulakan dengan contoh yang mudah. Tentukan pekali bagi persamaan 3x² + 4x + 7 = 0. Di sini mudah sahaja: a = 3, b = 4 dan c = 7.

Bagaimana pula dengan persamaan 3x² − x + 2 = 0? Nilai a dan c jelas, iaitu a = 3 dan c = 2, tetapi bagaimana dengan b? Menulis b = 1 ialah satu kesilapan. Bayangkan terdapat nombor satu di hadapan x seperti ini: 3x² − 1x + 2 = 0. Sekarang lebih jelas bahawa b = −1.

Satu lagi contoh yang menarik: x² − 3 = 0. Di sini juga pekali b boleh menimbulkan masalah, manakala pekali lain jelas: a = 1 dan c = −3. Apakah nilai pekali b? Sebutan linear langsung tidak terdapat dalam persamaan ini, jadi keadaannya sama seperti jika kita menulis persamaan dalam bentuk x² + 0x − 3 = 0. Jadi, b = 0.

Contoh yang lebih rumit:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

Persamaan ini mengandungi dua perangkap. Tiada sebutan pemalar, jadi c = 0. Sebutan kuasa dua jelas, jadi a = 5. Tetapi bagaimana dengan b yang menyusahkan itu? Kita boleh mengubah persamaan ini sedikit dengan memfaktorkan pemboleh ubah x daripada dua sebutan seperti berikut:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

Pekali b sekali lagi ialah apa yang berada “di hadapan” pemboleh ubah x, jadi seluruh kurungan sama dengan pekali b = (3 + π). Persamaan yang serupa:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

Dua pekali pertama jelas: a = −1 dan b = 4. Apakah sebutan pemalarnya? Sebutan pemalar ialah ungkapan yang tinggal yang tidak mengandungi x. Jadi, $c = 1 - \sqrt{2}$ . Jangan takut akan punca kuasa itu. Punca kuasa tidak menggigit; nilainya hanyalah nombor biasa.

Apakah pula nilai pekali bagi persamaan ini? (x + 1)(x + 2) = −2x. Pertama, kita perlu mengubah persamaan kepada bentuk am. Kita kembangkan kurungan dan memperoleh

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

dan akhirnya kita tambahkan 2x pada persamaan supaya sebelah kanannya sifar:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Nilai pekalinya kini jelas: a = 1, b = 5, c = 2.

Persamaan kuadratik tanpa sebutan x

Jika b = 0, kita memperoleh persamaan kuadratik tanpa sebutan x. Persamaan ini diselesaikan dengan cara yang hampir sama seperti persamaan linear. Bentuk amnya ialah:

$a x^{2} + c = 0$

Oleh sebab b = 0, seluruh sebutan linear bx hilang daripada persamaan kerana 0x = 0. Kita selesaikan persamaan ini dengan menolak sebutan pemalar terlebih dahulu, iaitu menolak nilai c daripada persamaan. Kita memperoleh:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 (tolak c) \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

Seterusnya, kita bahagikan persamaan dengan nombor a dan memperoleh bentuk:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

Akhir sekali, kita cari punca kuasa dua bagi kedua-dua belah persamaan. Pecahan di sebelah kanan tidak boleh negatif kerana punca kuasa dua bagi nombor negatif tidak wujud. Kita memperoleh penyelesaian:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Perhatikan bahawa kita memperoleh dua penyelesaian, satu positif dan satu negatif. Hal ini lebih jelas dalam contoh. Kita selesaikan persamaan

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Mengikut langkah-langkahnya, kita tolak sebutan c terlebih dahulu. Perhatikan bahawa sebutan c dalam kes ini negatif, jadi kita menolak nombor negatif, iaitu menambahkan nombor positif. Jadi, kita tambahkan +8 pada seluruh persamaan (tujuannya ialah memindahkan lapan ke sebelah kanan). Kita memperoleh bentuk:

$2 x^{2} = 8$

Seterusnya, mengikut langkah-langkahnya, kita bahagikan persamaan dengan nombor a, iaitu dua. Selepas pembahagian, kita memperoleh bentuk:

$x^{2} = 4$

Sekarang kita cari punca kuasa dua.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Mengapakah negatif dua juga penyelesaian? Kerana negatif dua darab negatif dua ialah empat. Kita juga boleh melihat penyelesaian secara graf: graf fungsi 2x² − 8 menyilang paksi-x pada titik x₁ = −2 dan x₂ = 2.

Penyelesaian graf bagi persamaan 2x^2-8=0

Selesaikan persamaan

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Kita tambahkan lima pada persamaan:

$80 x^{2} = 5$

Bahagikan dengan 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Permudahkan pecahan:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Cari punca kuasa dua:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Persamaan kuadratik tanpa sebutan pemalar

Satu lagi kes khas persamaan kuadratik berlaku apabila sebutan pemalar c sama dengan sifar. Bentuk am persamaannya ialah:

$a x^{2} + b x = 0$

Persamaan jenis ini diselesaikan dengan memfaktorkan anu:

$x (a x + b) = 0.$

Di sini penyelesaiannya sudah agak jelas. Sekali lagi kita memperoleh dua punca persamaan, tetapi salah satunya sentiasa sifar. Seluruh sebelah kiri berbentuk hasil darab dua ungkapan: x dan kurungan (ax + b). Bilakah hasil darab ini sama dengan sifar? Apabila sekurang-kurangnya satu daripada ungkapan itu sama dengan sifar. Jadi, sebelah kiri sama dengan sifar dalam dua kes:

$x = 0 atau a x + b = 0.$

Kita sudah memperoleh penyelesaian pertama, iaitu sifar. Penyelesaian kedua diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linear ax + b = 0. Daripada artikel tentang persamaan linear, kita tahu bahawa persamaan ini mempunyai satu penyelesaian sahaja, iaitu:

$x = - \frac{b}{a}$

Jadi, kita boleh menulis penyelesaian bagi seluruh persamaan kuadratik ax² + bx = 0:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Contoh:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Kita faktorkan x:

$x (6 x + 3) = 0$

Penyelesaian pertama ialah x = 0. Penyelesaian kedua diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linear 6x + 3 = 0:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Kita tulis penyelesaiannya:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

Sekali lagi, kita boleh melihat graf fungsi yang menyilang paksi-x pada titik-titik ini:

Graf fungsi 6x^2+3x

Kaedah penyelesaian lain

Ini ialah teknik asas bagi jenis khas persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik dalam bentuk am diselesaikan menggunakan pembeza layan. Antara jenis persamaan yang lain termasuklah persamaan kuadratik dengan parameter.

Kalkulator

Masukkan pekali a, b dan c bagi persamaan am ax² + bx + c = 0, dan kalkulator akan mengira pembeza layan serta punca-puncanya. Kalkulator ini juga tersedia sebagai halaman tersendiri, iaitu kalkulator persamaan kuadratik.

Kandungan: Persamaan kuadratik, Pembeza layan, Persamaan kuadratik dengan parameter, Persamaan kuadratik dalam set nombor kompleks

« Artikel sebelumnya: Persamaan linear dengan parameter

Artikel seterusnya: Pembeza layan »