Pembeza layan

Pembeza layan ialah polinomial yang membolehkan kita mengira penyelesaian persamaan kuadratik dalam bentuk am, atau menentukan sama ada persamaan itu mempunyai penyelesaian dan berapa banyak penyelesaiannya.

Rumus dan hubungan asas

Mula-mula, kita ulang semula bentuk am persamaan kuadratik:

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

dengan a, b, c ialah nombor nyata. Pembeza layan, yang kita tandakan dengan D, dikira seperti berikut:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Contoh: diberi persamaan kuadratik 3x² + 5x − 7 = 0. Bagi persamaan ini, a = 3, b = 5, c = −7. Pembeza layan dikira seperti berikut:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Jadi, hasilnya ialah 109. Apakah yang diberitahu oleh nombor ini? Jika pembeza layan…

• positif, persamaan mempunyai dua punca nyata yang berbeza,
• sifar, persamaan mempunyai dua punca nyata yang sama,
• negatif, persamaan tiada penyelesaian dalam set nombor nyata. Namun, persamaan itu mempunyai penyelesaian dalam set nombor kompleks.

Cara mengira punca persamaan kuadratik

Dengan pembeza layan, kita boleh mengira punca persamaan kuadratik secara langsung. Rumus bagi punca-puncanya ialah:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$$

dengan D ialah pembeza layan. Jika pembeza layan ditulis sepenuhnya, rumus kuadratik menjadi:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Mari kita gunakan rumus ini untuk mengira punca persamaan kuadratik x² + 7x + 12 = 0. Pertama, kita kira pembeza layan:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Pembeza layan positif, jadi persamaan ini mempunyai dua punca nyata yang berbeza. Kita kira punca pertama. Kali pertama kita menambahkan punca kuasa dua bagi pembeza layan, dan kali kedua kita menolaknya:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

Punca pertama ialah −3. Punca kedua dikira dengan menolak punca kuasa dua itu:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Sekarang kita mempunyai kedua-dua punca persamaan, iaitu x₁ = −3 dan x₂ = −4.

Untuk menguasai kaedah ini, anda mesti dapat menentukan nilai a, b dan c dengan betul. Cara menentukannya diterangkan dalam artikel pertama tentang persamaan kuadratik.

Apakah maksud penyelesaian ini secara graf? Jika kita melakar graf fungsi di sebelah kiri persamaan, kita dapati bahawa graf fungsi kuadratik ini menyilang paksi-x pada dua titik, iaitu pada x₁ = −3 dan x₂ = −4.

Pembeza layan sifar

Jika pembeza layan sama dengan sifar, persamaan mempunyai penyelesaian, tetapi hanya satu; atau lebih tepat, dua punca yang sama. Contoh: selesaikan persamaan x² − 10x + 25 = 0. Kita kira pembeza layan:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

Punca dikira dengan rumus seperti dalam bahagian sebelumnya. Namun, oleh sebab pembeza layan sifar, sebutan tambah/tolak punca kuasa dua bagi D hilang daripada rumus kerana kita menambahkan atau menolak sifar.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Kita memperoleh dua punca yang sama (punca berulang), x = 5. Apakah maksudnya secara graf? Graf fungsi itu menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja, iaitu pada titik verteksnya.

Pembeza layan negatif

Jika pembeza layan negatif, persamaan kuadratik tiada penyelesaian dalam set nombor nyata. Persamaan ini boleh diselesaikan dalam set nombor kompleks, tetapi hal itu akan dibincangkan dalam artikel lain. Sebagai contoh, mari kita cuba selesaikan persamaan kuadratik x² + x + 1 = 0. Pembeza layannya:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Jadi, persamaan kuadratik ini tiada penyelesaian dalam set nombor nyata. Anda boleh mencubanya sendiri: polinomial x² + x + 1 positif bagi semua nombor nyata. Contohnya, jika anda menggantikan satu untuk x, anda memperoleh 1 + 1 + 1 = 3. Jika x = −1, kita memperoleh 1 − 1 + 1 = 1. Jika x = 0, kita memperoleh 0 + 0 + 1 = 1. Begitu juga bagi nombor-nombor lain. Anda juga boleh melihat graf fungsi y = x² + x + 1; graf ini tidak pernah menyilang paksi-x.

Hasil tambah dan hasil darab punca

Kita sudah tahu cara mengira penyelesaian persamaan kuadratik. Tetapi apakah hubungan antara kedua-dua penyelesaian itu? Mari kita tambahkan kedua-dua penyelesaian x₁ dan x₂:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Jika kita menambahkan punca-punca persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0, kita memperoleh hasil bahagi −b/a. Apakah yang berlaku jika kita mendarab punca-punca itu?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{D}-b\cdot \sqrt{D}-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Jadi, jika kita mendarab punca-punca itu, kita memperoleh nombor c/a. Inilah rumus hasil tambah punca dan hasil darab punca (dikenali juga sebagai rumus Vieta). Sekali lagi, bersama-sama:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Perhatikan bahawa penyebut pecahan sentiasa a. Kes khas ialah persamaan kuadratik dengan a = 1. Dalam kes ini, rumus tersebut boleh ditulis seperti berikut:

$$\begin{array}{r}\text{jika }a=1:\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

Hal ini boleh digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan kuadratik. Daripada mengira pembeza layan dengan susah payah, kita boleh cuba mencari nombor x₁ dan x₂ yang memenuhi hubungan di atas. Contoh: cari penyelesaian persamaan x² + 8x + 15 = 0. Di sini a = 1, jadi kita boleh menggunakan rumus yang lebih mudah. Kita mencari nombor x₁ dan x₂ yang memenuhi:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Jika kita hanya mempertimbangkan integer, terdapat empat kemungkinan untuk memperoleh hasil darab 15:

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Sekarang kita memerlukan pasangan yang hasil tambahnya −8. Hanya satu pasangan yang memberikan hasil tambah ini, iaitu −3 dan −5. Jadi, nombor-nombor ini ialah penyelesaian persamaan kuadratik tersebut. Kita boleh menggantikannya ke dalam persamaan sebagai semakan; hasilnya mesti sifar:

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Betul. Jika anda mengetahui punca-puncanya, anda juga boleh menulis persamaan dalam bentuk yang lebih mudah dibaca. Jika x₁ dan x₂ ialah punca persamaan ax² + bx + c = 0 dengan a = 1, persamaan itu boleh ditulis semula dalam bentuk

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Jadi, persamaan tadi boleh ditulis semula sebagai:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$