Narozeninový paradox

Kolik lidí musí být ve třídě nebo na oslavě, aby se s pravděpodobností aspoň 50 % našli dva, kteří mají narozeniny ve stejný den? Rok nás nezajímá, počítá se jen den a měsíc. Většině lidí intuice našeptává něco kolem 183, tedy půlku roku. Správná odpověď je 23.

Paradoxem to je jen na pohled. Žádný rozpor v tom není, jen nás intuice táhne úplně špatným směrem.

Proč tak málo?

Při otázce na stejné narozeniny většinou myslíme sami na sebe: má někdo narozeniny stejně jako já? Otázka ale míří jinam. Nehledáme shodu se mnou, ale shodu mezi kterýmikoli dvěma lidmi ve skupině.

Dvojic přitom ve skupině vzniká mnohem víc, než by člověk čekal. Ve skupině 23 lidí může každý vytvořit dvojici s 22 dalšími. Tím vznikne 23 · 22, jenže každou dvojici jsme tak napočítali dvakrát (Janu s Petrem i Petra s Janou), takže dvojic je

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Je to totéž co kombinační číslo $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$. Každá dvojice dává jednu šanci na shodu a 253 pokusů už je docela dost.

Jak se to spočítá

Předpokládejme, že rok má 365 dní, 29. února vynecháme a každý den je stejně pravděpodobný. Počty narozených se přes rok ve skutečnosti mírně liší, výsledek to ale téměř neovlivní.

Počítat přímo, kdy se shodují aspoň dva, by byla dřina. Shodovat se mohou dva lidé, tři, dvě různé dvojice… Půjdeme proto oklikou přes doplňkový jev: spočítáme pravděpodobnost, že mají všichni narozeniny v různé dny, a odečteme ji od jedničky.

Začneme se třemi lidmi. První může mít narozeniny kterýkoli den, to je $\frac{365}{365}$. Druhý se musí trefit do jiného dne než první, zbývá mu proto jen 364 dní z 365. Třetímu odpadají oba už obsazené dny, na výběr má 363 dní. Pravděpodobnosti vynásobíme:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Pravděpodobnost, že se dva ze tří lidí shodují, vychází 1 − 0,9918 = 0,0082, což je necelé jedno procento.

U 23 lidí je postup stejný, zlomků je jen víc. Dvacátý třetí člověk má na výběr 365 − 22 = 343 dní:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

S pravděpodobností asi 0,4927 mají všichni narozeniny v různé dny. Odečteme od jedničky:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Pravděpodobnost, že mají aspoň dva z 23 lidí narozeniny ve stejný den, je asi 50,7 %. Při 22 lidech je to pořád jen 47,6 %, a 23 je tedy nejmenší počet, při kterém šance polovinu překročí.

S každým dalším člověkem pravděpodobnost rychle stoupá. Pro 10 lidí vychází asi 12 %, pro 30 asi 71 %, pro 50 asi 97 % a pro 70 už přes 99,9 %. Když ve třídě sedí třicet dětí a žádné dvě nemají narozeniny společné, je to spíš malé štěstí.

A co moje narozeniny?

Vraťme se k otázce, která lidem naskočí jako první: kolik lidí je potřeba, aby měl aspoň jeden z nich narozeniny ve stejný den jako já?

Tady se počítá jinak. Každý z n lidí má narozeniny jindy než já s pravděpodobností $\frac{364}{365}$, a to nezávisle na ostatních. Chceme, aby

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Pro n = 252 vyjde asi 0,4991, což ještě nestačí. Pro n = 253 vyjde asi 0,5005, takže potřebujeme 253 lidí. Mimochodem, přesně tolik je i dvojic ve skupině 23 lidí. Úplná náhoda to není: 253 dvojic je 253 šancí na shodu, stejně jako 253 lidí srovnávaných se mnou. Že vyjde přesně stejné číslo, je už ale trochu štěstí. Dvojice se ale navzájem trochu ovlivňují, a proto u 23 lidí vyjde 50,7 % a ne 50,05 %.

Viz také

• Doplňkový jev
• Pravděpodobnost
• Kombinace
• Problém tří dveří