✖

Bursdagsparadokset

Hvor mange mennesker må det være i en klasse eller på en fest for at vi med minst 50 % sannsynlighet finner to som har bursdag samme dag? Året bryr vi oss ikke om, det er bare dag og måned som teller. Intuisjonen til de fleste hvisker noe rundt 183, altså halve året. Det riktige svaret er 23.

Det er bare tilsynelatende et paradoks. Det er ingen motsigelse i det, intuisjonen drar oss bare helt feil vei.

Hvorfor så få?

Når vi spør om samme bursdag, tenker vi som regel på oss selv: Har noen bursdag samme dag som meg? Men spørsmålet peker et annet sted. Vi leter ikke etter sammenfall med meg, men etter sammenfall mellom hvilke som helst to personer i gruppen.

Det oppstår dessuten mange flere par i en gruppe enn man skulle vente. I en gruppe på 23 personer kan hver person danne par med 22 andre. Da får vi 23 · 22, men hvert par har vi da talt to ganger (Nora med Henrik og Henrik med Nora), så antall par er

23⋅222=253.

Det er det samme som binomialkoeffisienten (232). Hvert par gir én sjanse for sammenfall, og 253 forsøk er ganske mange.

Hvordan regner vi det ut

La oss anta at året har 365 dager, at vi ser bort fra 29. februar og at hver dag er like sannsynlig. Antall fødte varierer litt gjennom året i virkeligheten, men det påvirker resultatet nesten ikke.

Å regne direkte ut når minst to har samme bursdag, ville vært et slit. Det kan være to personer med samme bursdag, tre, to ulike par… Vi går derfor en omvei via den komplementære hendelsen: Vi regner ut sannsynligheten for at alle har bursdag på ulike dager, og trekker den fra én.

Vi begynner med tre personer. Den første kan ha bursdag hvilken som helst dag, det er 365365. Den andre må treffe en annen dag enn den første, så det er bare 364 dager av 365 igjen. For den tredje faller begge de opptatte dagene bort, og vedkommende har 363 dager å velge blant. Vi multipliserer sannsynlighetene:

365365⋅364365⋅363365≈0,9918

Sannsynligheten for at to av tre personer har samme bursdag, blir 1 − 0,9918 = 0,0082, som er knapt én prosent.

For 23 personer er framgangsmåten den samme, det er bare flere brøker. Den tjuetredje personen har 365 − 22 = 343 dager å velge blant:

365365⋅364365⋅363365⋅…⋅343365≈0,4927

Med en sannsynlighet på omtrent 0,4927 har alle bursdag på ulike dager. Vi trekker fra én:

1−0,4927=0,5073

Sannsynligheten for at minst to av 23 personer har bursdag samme dag, er omtrent 50,7 %. Med 22 personer er den fortsatt bare 47,6 %, og 23 er dermed det minste antallet der sjansen overstiger halvparten.

Sannsynligheten P for sammenfall av bursdager avhengig av antall personer n

For hver ekstra person stiger sannsynligheten raskt. For 10 personer blir den omtrent 12 %, for 30 omtrent 71 %, for 50 omtrent 97 % og for 70 allerede over 99,9 %. Når det sitter tretti barn i en klasse og ingen to har felles bursdag, er det snarere litt flaks.

Og hva med bursdagen min?

La oss gå tilbake til spørsmålet som dukker opp først hos folk: Hvor mange personer trengs det for at minst én av dem har bursdag samme dag som meg?

Her regner vi annerledes. Hver av de n personene har bursdag en annen dag enn meg med sannsynlighet 364365, og det uavhengig av de andre. Vi vil at

1−(364365)n≥12.

For n = 252 får vi omtrent 0,4991, og det er ikke nok ennå. For n = 253 får vi omtrent 0,5005, så vi trenger 253 personer. Forresten er det nøyaktig like mange som antall par i en gruppe på 23 personer. Helt tilfeldig er det ikke: 253 par er 253 sjanser for sammenfall, akkurat som 253 personer som sammenlignes med meg. At det blir nøyaktig det samme tallet, er likevel litt flaks. Parene påvirker hverandre nemlig litt, og derfor får vi 50,7 % og ikke 50,05 % for 23 personer.

Se også

Kapitler: Tredørsproblemet, Bursdagsparadokset, Benfords lov, Løgnerparadokset i sannsynlighet, Slipsparadokset, Simpsons paradoks, Det medisinske paradokset, Sankt Petersburg-paradokset, Ikke-transitive terninger