✖

Födelsedagsparadoxen

Hur många personer måste vara i ett klassrum eller på en fest för att det med sannolikheten minst 50 % ska finnas två som har födelsedag samma dag? Året spelar ingen roll, det är bara dag och månad som räknas. För de flesta säger intuitionen något i stil med 183, alltså ett halvt år. Det rätta svaret är 23.

Det är bara skenbart en paradox. Det finns ingen motsägelse, intuitionen drar oss bara åt helt fel håll.

Varför så få?

När vi frågar efter samma födelsedag tänker vi oftast på oss själva: har någon födelsedag samma dag som jag? Frågan gäller dock något annat. Vi söker inte en träff med mig, utan en träff mellan två vilka som helst i gruppen.

Det uppstår dessutom mycket fler par i en grupp än man tror. I en grupp på 23 personer kan var och en bilda par med 22 andra. Det ger 23 · 22, men varje par har då räknats två gånger (Elsa med Oscar och Oscar med Elsa), så antalet par är

23⋅222=253.

Det är detsamma som binomialkoefficienten (232). Varje par ger en chans till träff, och 253 försök är ganska många.

Hur man räknar ut det

Anta att ett år har 365 dagar, att vi hoppar över den 29 februari och att varje dag är lika sannolik. Antalet födda varierar i verkligheten något över året, men det påverkar resultatet knappt alls.

Att direkt räkna ut när minst två sammanfaller skulle vara ett slit. Två personer kan sammanfalla, tre personer, två olika par… Vi går därför omvägen via komplementhändelsen: vi beräknar sannolikheten att alla har födelsedag olika dagar och drar den från ett.

Vi börjar med tre personer. Den första kan ha födelsedag vilken dag som helst, det är 365365. Den andra måste pricka en annan dag än den första, så hon har bara 364 dagar av 365 kvar. För den tredje faller båda redan upptagna dagarna bort, och hon kan välja bland 363 dagar. Vi multiplicerar sannolikheterna:

365365⋅364365⋅363365≈0,9918

Sannolikheten att två av tre personer sammanfaller blir 1 − 0,9918 = 0,0082, alltså knappt en procent.

För 23 personer är tillvägagångssättet detsamma, det är bara fler bråk. Den tjugotredje personen har 365 − 22 = 343 dagar att välja bland:

365365⋅364365⋅363365⋅…⋅343365≈0,4927

Med sannolikheten ungefär 0,4927 har alla födelsedag olika dagar. Vi drar det från ett:

1−0,4927=0,5073

Sannolikheten att minst två av 23 personer har födelsedag samma dag är ungefär 50,7 %. Vid 22 personer är den fortfarande bara 47,6 %, och 23 är alltså det minsta antal där chansen överstiger hälften.

Sannolikheten P för sammanfallande födelsedagar beroende på antalet personer n

Med varje ny person stiger sannolikheten snabbt. För 10 personer blir den ungefär 12 %, för 30 ungefär 71 %, för 50 ungefär 97 % och för 70 redan över 99,9 %. Om det sitter trettio barn i en klass och inga två har samma födelsedag är det snarare tur.

Och min födelsedag då?

Vi går tillbaka till den fråga som de flesta tänker på först: hur många personer behövs för att minst en av dem ska ha födelsedag samma dag som jag?

Här räknar man annorlunda. Var och en av n personer har födelsedag en annan dag än jag med sannolikheten 364365, och det oberoende av de andra. Vi vill att

1−(364365)n≥12.

För n = 252 blir det ungefär 0,4991, vilket ännu inte räcker. För n = 253 blir det ungefär 0,5005, så vi behöver 253 personer. Förresten är det precis så många par som finns i en grupp på 23 personer. Helt av en slump är det inte: 253 par är 253 chanser till träff, precis som 253 personer som jämförs med mig. Att det blir exakt samma tal är dock en smula tur. Paren påverkar varandra något, och därför blir det 50,7 % för 23 personer och inte 50,05 %.

Se även

Kapitel: Monty Hall-problemet, Födelsedagsparadoxen, Benfords lag, Sannolikhetsversionen av lögnarparadoxen, Slipsparadoxen, Simpsons paradox, Medicinska paradoxen, S:t Petersburgparadoxen, Icke-transitiva tärningar