Paradoxul zilei de naștere

Câte persoane trebuie să fie într-o clasă sau la o petrecere ca, cu o probabilitate de cel puțin 50%, să se găsească două care au ziua de naștere în aceeași zi? Anul nu ne interesează, contează doar ziua și luna. Intuiția îi spune majorității oamenilor ceva în jur de 183, adică jumătate de an. Răspunsul corect este 23.

Este un paradox doar în aparență. Nu există nicio contradicție, doar că intuiția ne trage într-o direcție complet greșită.

De ce atât de puține?

Când ne întrebăm despre aceeași zi de naștere, de obicei ne gândim la noi înșine: are cineva ziua de naștere în aceeași zi cu mine? Întrebarea vizează însă altceva. Nu căutăm o coincidență cu mine, ci o coincidență între oricare două persoane din grup.

Iar perechile care se formează într-un grup sunt mult mai multe decât ne-am aștepta. Într-un grup de 23 de persoane, fiecare poate forma o pereche cu alte 22. Obținem astfel 23 · 22, dar fiecare pereche a fost numărată de două ori (Ioana cu Andrei și Andrei cu Ioana), așa că numărul perechilor este

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Este același lucru cu numărul combinărilor $C_{23}^2$. Fiecare pereche oferă o șansă de coincidență, iar 253 de încercări sunt deja destule.

Cum se calculează

Să presupunem că anul are 365 de zile, o omitem pe 29 februarie, iar fiecare zi este la fel de probabilă. În realitate, numărul nașterilor variază ușor de-a lungul anului, dar rezultatul este aproape neafectat.

A calcula direct când coincid cel puțin două ar fi o corvoadă. Pot coincide două persoane, trei, două perechi diferite… Vom merge deci pe ocolite, prin evenimentul contrar: calculăm probabilitatea ca toți să aibă ziua de naștere în zile diferite și o scădem din unu.

Începem cu trei persoane. Prima poate avea ziua de naștere în orice zi, adică $\frac{365}{365}$. A doua trebuie să nimerească într-o altă zi decât prima, deci îi rămân doar 364 de zile din 365. A treia nu mai poate alege niciuna dintre cele două zile deja ocupate, deci are de ales dintre 363 de zile. Înmulțim probabilitățile:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Probabilitatea ca două dintre cele trei persoane să coincidă este 1 − 0,9918 = 0,0082, adică sub un procent.

La 23 de persoane procedeul este același, doar că sunt mai multe fracții. A douăzeci și treia persoană are de ales dintre 365 − 22 = 343 de zile:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Cu o probabilitate de aproximativ 0,4927, toți au ziua de naștere în zile diferite. Scădem din unu:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Probabilitatea ca cel puțin două din cele 23 de persoane să aibă ziua de naștere în aceeași zi este de aproximativ 50,7%. La 22 de persoane este încă doar 47,6%, deci 23 este cel mai mic număr pentru care șansa depășește jumătate.

Cu fiecare persoană în plus, probabilitatea crește rapid. Pentru 10 persoane rezultă aproximativ 12%, pentru 30 aproximativ 71%, pentru 50 aproximativ 97%, iar pentru 70 chiar peste 99,9%. Dacă într-o clasă stau treizeci de copii și nu există doi care să aibă ziua de naștere în aceeași zi, este mai degrabă un mic noroc.

Și ziua mea de naștere?

Să revenim la întrebarea care le vine oamenilor prima în minte: câte persoane sunt necesare ca cel puțin una dintre ele să aibă ziua de naștere în aceeași zi cu mine?

Aici se calculează altfel. Fiecare dintre cele n persoane are ziua de naștere într-o altă zi decât mine cu probabilitatea $\frac{364}{365}$, independent de ceilalți. Vrem ca

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Pentru n = 252 rezultă aproximativ 0,4991, ceea ce încă nu ajunge. Pentru n = 253 rezultă aproximativ 0,5005, deci avem nevoie de 253 de persoane. Apropo, exact atâtea sunt și perechile dintr-un grup de 23 de persoane. Nu este complet întâmplător: 253 de perechi înseamnă 253 de șanse de coincidență, la fel ca 253 de persoane comparate cu mine. Faptul că iese exact același număr este totuși un pic de noroc. Perechile se influențează însă puțin între ele și de aceea la 23 de persoane rezultă 50,7%, și nu 50,05%.

Vezi și

• Evenimentul contrar
• Probabilitatea
• Combinări
• Problema Monty Hall