Geburtstagsparadoxon
Wie viele Leute müssen in einer Klasse oder auf einer Feier sein, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % zwei finden, die am selben Tag Geburtstag haben? Das Jahr interessiert uns nicht, es zählen nur Tag und Monat. Den meisten Menschen sagt die Intuition etwas um die 183, also die Hälfte des Jahres. Die richtige Antwort ist 23.
Ein Paradoxon ist das nur dem Anschein nach. Einen Widerspruch gibt es nicht, nur führt uns die Intuition in die völlig falsche Richtung.
Warum so wenige?
Bei der Frage nach dem gleichen Geburtstag denken wir meistens an uns selbst: Hat jemand am selben Tag Geburtstag wie ich? Die Frage zielt aber woandershin. Wir suchen keine Übereinstimmung mit mir, sondern eine Übereinstimmung zwischen zwei beliebigen Personen der Gruppe.
Dabei entstehen in einer Gruppe viel mehr Paare, als man erwarten würde. In einer Gruppe von 23 Personen kann jeder mit 22 anderen ein Paar bilden. So kommen wir auf 23 · 22, nur haben wir dabei jedes Paar doppelt gezählt (Anna mit Max und Max mit Anna), die Anzahl der Paare ist also
Das ist dasselbe wie der Binomialkoeffizient
Wie man es berechnet
Nehmen wir an, das Jahr hat 365 Tage, den 29. Februar lassen wir weg, und jeder Tag ist gleich wahrscheinlich. Die Zahl der Geburten schwankt übers Jahr in Wirklichkeit etwas, das Ergebnis beeinflusst das aber kaum.
Direkt zu berechnen, wann mindestens zwei übereinstimmen, wäre eine Plackerei. Übereinstimmen können zwei Personen, drei, zwei verschiedene Paare … Wir gehen deshalb den Umweg über das Gegenereignis: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, und ziehen sie von eins ab.
Wir beginnen mit drei Personen. Die erste kann an jedem beliebigen Tag Geburtstag haben, das sind
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von drei Personen übereinstimmen, ist also 1 − 0,9918 = 0,0082, das ist knapp ein Prozent.
Bei 23 Personen ist das Vorgehen dasselbe, es gibt nur mehr Brüche. Die dreiundzwanzigste Person hat 365 − 22 = 343 Tage zur Auswahl:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,4927 haben alle an verschiedenen Tagen Geburtstag. Wir ziehen von eins ab:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von 23 Personen am selben Tag Geburtstag haben, beträgt etwa 50,7 %. Bei 22 Personen sind es erst 47,6 %, und 23 ist somit die kleinste Anzahl, bei der die Chance die Hälfte überschreitet.
Mit jeder weiteren Person steigt die Wahrscheinlichkeit schnell an. Bei 10 Personen ergeben sich etwa 12 %, bei 30 etwa 71 %, bei 50 etwa 97 % und bei 70 schon über 99,9 %. Wenn in einer Klasse dreißig Kinder sitzen und keine zwei am selben Tag Geburtstag haben, ist das eher ein kleiner Glücksfall.
Und mein Geburtstag?
Kehren wir zu der Frage zurück, die den Leuten als Erstes einfällt: Wie viele Leute braucht man, damit mindestens einer von ihnen am selben Tag Geburtstag hat wie ich?
Hier rechnet man anders. Jeder der n Leute hat mit einer Wahrscheinlichkeit von
Für n = 252 ergibt sich etwa 0,4991, das reicht noch nicht. Für n = 253 ergibt sich etwa 0,5005, wir brauchen also 253 Leute. Übrigens ist das genau die Anzahl der Paare in einer Gruppe von 23 Personen. Ein reiner Zufall ist das nicht: 253 Paare sind 253 Chancen auf eine Übereinstimmung, genauso wie 253 Leute, die mit mir verglichen werden. Dass genau dieselbe Zahl herauskommt, ist aber doch ein bisschen Glück. Allerdings beeinflussen sich die Paare gegenseitig ein wenig, und deshalb ergeben sich bei 23 Personen 50,7 % und nicht 50,05 %.
Siehe auch
Kapitel: Ziegenproblem, Geburtstagsparadoxon, Benfordsches Gesetz, Wahrscheinlichkeitstheoretisches Lügner-Paradox, Krawatten-Paradoxon, Simpson-Paradoxon, Medizinisches Paradoxon, Sankt-Petersburg-Paradoxon, Nichttransitive Würfel
