Paradoja del cumpleaños
¿Cuántas personas tienen que estar en una clase o en una fiesta para que, con una probabilidad de al menos el 50 %, haya dos que cumplan años el mismo día? El año no nos interesa, cuentan solo el día y el mes. A la mayoría de la gente la intuición le susurra algo en torno a 183, es decir, la mitad del año. La respuesta correcta es 23.
Solo lo parece, pero no es una paradoja de verdad. No hay ninguna contradicción en ello, simplemente la intuición nos arrastra en una dirección completamente equivocada.
¿Por qué tan pocas?
Cuando nos preguntan por cumpleaños coincidentes, solemos pensar en nosotros mismos: ¿alguien cumple años el mismo día que yo? Pero la pregunta apunta a otra cosa. No buscamos una coincidencia conmigo, sino una coincidencia entre dos personas cualesquiera del grupo.
Y en un grupo se forman muchas más parejas de las que uno esperaría. En un grupo de 23 personas, cada una puede formar pareja con las otras 22. Así obtenemos 23 · 22, pero de este modo hemos contado cada pareja dos veces (Lucía con Hugo y Hugo con Lucía), de manera que el número de parejas es
Es lo mismo que el número combinatorio
Cómo se calcula
Supongamos que el año tiene 365 días, que dejamos fuera el 29 de febrero y que todos los días son igual de probables. En realidad, el número de nacimientos varía algo a lo largo del año, pero apenas influye en el resultado.
Calcular directamente cuándo coinciden al menos dos sería un trabajo enorme. Pueden coincidir dos personas, tres, dos parejas distintas… Por eso daremos un rodeo a través del suceso contrario: calcularemos la probabilidad de que todos cumplan años en días distintos y se la restaremos a uno.
Empecemos con tres personas. La primera puede cumplir años cualquier día, es decir,
La probabilidad de que dos de las tres personas coincidan es 1 − 0,9918 = 0,0082, que es menos del uno por ciento.
Con 23 personas el procedimiento es el mismo, solo que hay más fracciones. La persona número veintitrés puede elegir entre 365 − 22 = 343 días:
Con una probabilidad de aproximadamente 0,4927, todos cumplen años en días distintos. Lo restamos de uno:
La probabilidad de que al menos dos de las 23 personas cumplan años el mismo día es de aproximadamente el 50,7 %. Con 22 personas sigue siendo solo del 47,6 %, así que 23 es el menor número con el que la probabilidad supera la mitad.
Con cada persona adicional, la probabilidad sube rápidamente. Para 10 personas sale aproximadamente un 12 %, para 30 un 71 %, para 50 un 97 % y para 70 ya más del 99,9 %. Si en una clase hay treinta niños y no hay dos que cumplan años el mismo día, es más bien un pequeño golpe de suerte.
¿Y mi cumpleaños?
Volvamos a la pregunta que a la gente se le ocurre primero: ¿cuántas personas hacen falta para que al menos una de ellas cumpla años el mismo día que yo?
Aquí se calcula de otra manera. Cada una de las n personas cumple años un día distinto del mío con probabilidad
Para n = 252 sale aproximadamente 0,4991, que todavía no basta. Para n = 253 sale aproximadamente 0,5005, así que necesitamos 253 personas. Por cierto, esa es exactamente la cantidad de parejas que hay en un grupo de 23 personas. No es del todo casualidad: 253 parejas son 253 oportunidades de coincidencia, igual que 253 personas comparadas conmigo. Pero que salga exactamente el mismo número es ya un poco de suerte. Sin embargo, las parejas se influyen un poco entre sí, y por eso con 23 personas sale un 50,7 % y no un 50,05 %.
Véase también
Capítulos: Problema de las tres puertas (Monty Hall), Paradoja del cumpleaños, Ley de Benford, Paradoja probabilística del mentiroso, Paradoja de la corbata, Paradoja de Simpson, Paradoja del falso positivo, Paradoja de San Petersburgo, Dados no transitivos
