Fødselsdagsparadokset

Hvor mange mennesker skal der være i en klasse eller til en fest, for at der med en sandsynlighed på mindst 50 % findes to, der har fødselsdag på samme dag? Vi ser bort fra året, kun dag og måned tæller. For de fleste siger intuitionen noget i retning af 183, altså halvdelen af året. Det rigtige svar er 23.

Det er kun tilsyneladende et paradoks. Der er ingen modstrid i det, det er bare intuitionen, der trækker os helt i den forkerte retning.

Hvorfor så få?

Når vi spørger om samme fødselsdag, tænker vi som regel på os selv: Har nogen fødselsdag på samme dag som mig? Men spørgsmålet peger et andet sted hen. Vi leder ikke efter et sammenfald med mig, men efter et sammenfald mellem hvilke som helst to personer i gruppen.

Der opstår nemlig i en gruppe langt flere par, end man skulle tro. I en gruppe på 23 personer kan hver enkelt danne par med 22 andre. Det giver 23 · 22, men hvert par har vi på den måde talt to gange (Emma med William og William med Emma), så antallet af par er

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Det er det samme som binomialkoefficienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$. Hvert par giver en chance for sammenfald, og 253 forsøg er faktisk ret mange.

Sådan regner man det ud

Lad os antage, at et år har 365 dage, at vi udelader den 29. februar, og at alle dage er lige sandsynlige. Antallet af fødte varierer i virkeligheden en smule over året, men det påvirker resultatet næsten ikke.

At regne direkte på, hvornår mindst to har samme fødselsdag, ville være et slid. To personer kan have samme, tre personer, to forskellige par… Vi tager derfor en omvej via komplementærhændelsen: vi beregner sandsynligheden for, at alle har fødselsdag på forskellige dage, og trækker den fra et.

Vi starter med tre personer. Den første kan have fødselsdag på en hvilken som helst dag, det er $\frac{365}{365}$. Den anden skal ramme en anden dag end den første, så der er kun 364 dage ud af 365 tilbage til vedkommende. For den tredje falder begge de allerede optagne dage væk, vedkommende har 363 dage at vælge imellem. Vi ganger sandsynlighederne:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Sandsynligheden for, at to af tre personer har samme fødselsdag, bliver 1 − 0,9918 = 0,0082, hvilket er knap en procent.

Med 23 personer er fremgangsmåden den samme, der er bare flere brøker. Den treogtyvende person har 365 − 22 = 343 dage at vælge imellem:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Med en sandsynlighed på cirka 0,4927 har alle fødselsdag på forskellige dage. Vi trækker det fra et:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Sandsynligheden for, at mindst to af de 23 personer har fødselsdag på samme dag, er cirka 50,7 %. Med 22 personer er den stadig kun 47,6 %, og 23 er altså det mindste antal, hvor chancen overstiger en halv.

For hver ekstra person stiger sandsynligheden hurtigt. For 10 personer bliver den cirka 12 %, for 30 cirka 71 %, for 50 cirka 97 % og for 70 allerede over 99,9 %. Når der sidder tredive børn i en klasse, og ingen to af dem har fødselsdag på samme dag, er det nærmest et lille held.

Og hvad med min fødselsdag?

Lad os vende tilbage til det spørgsmål, som falder folk ind først: Hvor mange personer skal der til, for at mindst en af dem har fødselsdag på samme dag som mig?

Her regner man anderledes. Hver af de n personer har en anden fødselsdag end mig med sandsynligheden $\frac{364}{365}$, og det uafhængigt af de andre. Vi vil have, at

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

For n = 252 får vi cirka 0,4991, hvilket endnu ikke er nok. For n = 253 får vi cirka 0,5005, så vi har brug for 253 personer. Det er i øvrigt præcis lige så mange som antallet af par i en gruppe på 23 personer. Helt tilfældigt er det ikke: 253 par er 253 chancer for sammenfald, ligesom 253 personer, der sammenlignes med mig. At der kommer præcis det samme tal ud, er dog lidt held. Parrene påvirker imidlertid hinanden en smule, og derfor får vi med 23 personer 50,7 % og ikke 50,05 %.

Se også

• Komplementærhændelse
• Sandsynlighed
• Kombinationer
• Monty Hall-problemet