Paradoxo do aniversário
Quantas pessoas precisam estar em uma sala de aula ou em uma festa para que, com probabilidade de pelo menos 50%, existam duas que fazem aniversário no mesmo dia? O ano não nos interessa, conta apenas o dia e o mês. Para a maioria das pessoas, a intuição sussurra algo em torno de 183, isto é, metade do ano. A resposta correta é 23.
Isso só parece um paradoxo. Não há nenhuma contradição nisso, é só a intuição que nos puxa para a direção totalmente errada.
Por que tão poucas?
Quando perguntamos sobre aniversários iguais, geralmente pensamos em nós mesmos: alguém faz aniversário no mesmo dia que eu? Mas a pergunta aponta para outro lugar. Não procuramos uma coincidência comigo, e sim uma coincidência entre duas pessoas quaisquer do grupo.
Só que em um grupo surgem muito mais pares do que se esperaria. Em um grupo de 23 pessoas, cada uma pode formar um par com 22 outras. Isso dá 23 · 22, só que cada par foi contado duas vezes (a Ana com o Pedro e o Pedro com a Ana), então o número de pares é
É o mesmo que o número binomial
Como se calcula
Suponha que o ano tenha 365 dias, deixemos de lado o dia 29 de fevereiro e consideremos que todos os dias são igualmente prováveis. Na realidade, o número de nascimentos varia um pouco ao longo do ano, mas isso quase não influencia o resultado.
Calcular diretamente quando pelo menos duas pessoas coincidem seria trabalhoso. Podem coincidir duas pessoas, três, dois pares diferentes… Por isso vamos pelo caminho indireto, usando o evento complementar: calculamos a probabilidade de todos fazerem aniversário em dias diferentes e a subtraímos de um.
Começamos com três pessoas. A primeira pode fazer aniversário em qualquer dia, isso é
A probabilidade de duas de três pessoas coincidirem é 1 − 0,9918 = 0,0082, que é menos de um por cento.
Com 23 pessoas o procedimento é o mesmo, só que há mais frações. A vigésima terceira pessoa tem 365 − 22 = 343 dias para escolher:
Com probabilidade de aproximadamente 0,4927, todos fazem aniversário em dias diferentes. Subtraímos de um:
A probabilidade de pelo menos duas de 23 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia é de cerca de 50,7%. Com 22 pessoas ainda é apenas 47,6%, e 23 é, portanto, o menor número para o qual a chance ultrapassa a metade.
A cada pessoa a mais, a probabilidade sobe rapidamente. Para 10 pessoas dá cerca de 12%, para 30 cerca de 71%, para 50 cerca de 97% e para 70 já mais de 99,9%. Quando em uma turma há trinta crianças e não há duas que façam aniversário no mesmo dia, isso é, na verdade, um pequeno golpe de sorte.
E o meu aniversário?
Voltemos à pergunta que surge primeiro na cabeça das pessoas: quantas pessoas são necessárias para que pelo menos uma delas faça aniversário no mesmo dia que eu?
Aqui o cálculo é outro. Cada uma das n pessoas faz aniversário em outro dia que não o meu com probabilidade
Para n = 252 dá cerca de 0,4991, o que ainda não basta. Para n = 253 dá cerca de 0,5005, então precisamos de 253 pessoas. Aliás, esse é exatamente o número de pares em um grupo de 23 pessoas. Não é pura coincidência: 253 pares são 253 chances de coincidência, assim como 253 pessoas comparadas comigo. Que dê exatamente o mesmo número, porém, já é um pouco de sorte. Os pares influenciam um pouco uns aos outros, e por isso com 23 pessoas dá 50,7% e não 50,05%.
Veja também
Capítulos: Problema de Monty Hall, Paradoxo do aniversário, Lei de Benford, Paradoxo do mentiroso probabilístico, Paradoxo da gravata, Paradoxo de Simpson, Paradoxo do falso positivo, Paradoxo de São Petersburgo, Dados não transitivos
