Benfordův zákon

V roce 1881 si americký astronom Simon Newcomb všiml zvláštní věci na tabulkách logaritmů. První stránky, na kterých jsou čísla začínající jedničkou, byly mnohem ohmatanější než ty další. Proč by ale lidé hledali čísla začínající jedničkou častěji než ta, která začínají osmičkou nebo devítkou? Newcomb o tom napsal krátký článek. Nikdo si ho nevšiml.

Uplynulo 57 let. V roce 1938 si téhož nezávisle všiml fyzik Frank Benford z firmy General Electric. A nenechal to být. Sebral přes 20 000 čísel z 20 různých oborů: plochy povodí řek, fyzikální konstanty, úmrtnost, čísla z novinových článků, baseballové statistiky… Čísla, která spolu nemají vůbec nic společného.

Na začátku čísla může stát devět různých číslic, od 1 do 9 (nula na začátku nebývá). Čekali bychom tedy, že každá bude první stejně často, asi v 11 % případů. Jenže nebyla. Když to Benford všechno sečetl, jednička stála na začátku asi ve 30 % čísel. Čím vyšší číslice, tím méně často byla první, a devítkou začínalo jen necelých 5 % čísel. Tomuhle jevu se dnes říká Benfordův zákon, někdy také Newcombův–Benfordův zákon.

Proč zrovna jednička

Představte si obec se 100 obyvateli, jejichž počet každý rok vzroste o 10 %. Po celých letech bude mít obec zaokrouhleně 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… obyvatel. Aby se dostala ze 100 na 200, musí počet obyvatel vzrůst o 100 %, a to trvá 8 let. Po sedmi letech má obec 195 obyvatel, v osmém roce už přes 200.

Z 200 na 300 už stačí nárůst o 50 % a z 800 na 900 jen o 12,5 %. Čím vyšší je první číslice, tím rychleji ji obec přeskočí. Na celé cestě ze 100 na 1 000 obyvatel, která trvá 25 let, začíná počet obyvatel jedničkou 8 let, dvojkou 4 roky, trojkou 3 roky a dalšími číslicemi už jen rok nebo dva. Devítkou začíná jen jeden rok, kdy má obec 985 obyvatel, a hned další rok jich má přes tisíc. Osm let z 25 je 32 %, blízko oněch 30 %. Čísla, která rostou o stejné procento, stráví nejvíc času právě s jedničkou na začátku.

Zajímavé je, že na jednotkách nezáleží. Přepočítáte-li délky řek z kilometrů na míle, změní se všechna čísla. Pokud ale délky řek Benfordův zákon splňují, splňují ho i v mílích. Zastoupení jedniček se zhruba nezmění.

Jak často je která číslice první

Pravděpodobnost, že číslo začíná číslicí d, je podle Benfordova zákona

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

kde log₁₀ je dekadický logaritmus. Zkusme to nejdřív pro jedničku, tedy dosaďme d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Sečteme v závorce:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Jednička tak začíná asi 30,1 % čísel. Ostatní číslice dopadnou následovně:

Dohromady to dává přesně 100 %, jak má. Čárkovaná čára v grafu vyznačuje $\frac{1}{9}$, tedy podíl, který by připadl každé číslici, kdyby byly všechny stejně časté.

Když už máme vzorec, můžeme jít o krok dál. Zákon platí i pro první dvě číslice. Stačí do stejného vzorce dosadit za d dvojčíslí od 10 do 99. Dvojice 10 a 11 tak stojí na začátku mnohem častěji než 98 a 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Číslo začíná dvojčíslím 10 asi ve 4,1 % případů a dvojčíslím 11 ve 3,8 %, kdežto 98 nebo 99 jen asi v 0,44 %. A totéž platí třeba pro délky světových řek.

Kdy zákon platí a kdy ne

Benfordův zákon většinou platí pro data, která pokrývají několik řádů, tedy od desítek až po miliony, a vznikají přirozeným růstem nebo měřením. Ani velký rozsah ho ale nezaručuje, proto „většinou“.

Neplatí pro data s omezeným rozsahem. Výška dospělých se pohybuje mezi 150 a 200 cm, takže začíná skoro vždycky jedničkou. Neplatí ani pro data s umělými limity, třeba pro částky výběrů z bankomatu, které jsou násobky stovek a mají horní limit. A vůbec se nevztahuje na identifikátory a kódy, jako jsou telefonní nebo rodná čísla. Ty nejsou počty ani míry, jen jména zapsaná číslicemi.

Jak se tím chytají podvodníci

Kdo si čísla vymýšlí, ten má sklon dopřát všem číslicím podobnou šanci. Ve vymyšlených fakturách nebo účetnictví pak jedniček na začátku najdeme málo a vyšších číslic příliš. Auditoři a daňové úřady proto zákon využívají jako ukazatel, kam se podívat. Ve forenzním účetnictví jde o běžný nástroj.

Důkaz podvodu to ale není. Firma, která prodává jeden výrobek za 790 korun, bude mít spoustu faktur začínajících sedmičkou, když se kupuje po jednom kuse, a přitom nikdo nic nezfalšoval. Odchylka jen říká, že stojí za to podívat se blíž.

Studie Bernharda Raucha a kolegů z roku 2011 porovnala s Benfordovým zákonem makroekonomická data, která státy Evropské unie v letech 1999–2009 hlásily Eurostatu kvůli pravidlům o deficitu. Ze zemí eurozóny se od zákona nejvíc odchylovala data Řecka, tedy země, o které se v té době ukázalo, že údaje o svém deficitu zkreslovala.

Po íránských prezidentských volbách v roce 2009, které vyhrál Mahmúd Ahmadínežád, rozebrali statistici počty hlasů. U voleb se ovšem první číslice nehodí, protože volební okrsky mají podobnou velikost, a počty hlasů tak nepokrývají dost řádů. Walter Mebane proto testoval podle Benfordova zákona druhou číslici výsledků z jednotlivých volebních uren a u tří ze čtyř kandidátů našel odchylky. Bernd Beber a Alexandra Scacco zkoumali poslední číslice výsledků v provinciích. Ty by měly být rozložené rovnoměrně, každá asi v 10 % případů, jenže sedmiček bylo 17 % a pětek jen 4 %. Mebane sám zdůrazňoval, že jeho rozbor manipulaci nedokazuje, jen ji podporuje. Důkaz podvodu to nebyl ani v jednom případě.

Vyzkoušejte si to sami na vlastních datech, třeba na výpisu z účtu nebo na cenách na účtence. A pokud žádná data po ruce nemáte, vezměte mocniny dvojky. Z prvního tisíce mocnin, tedy 2¹ až 2¹⁰⁰⁰, jich jedničkou začíná 301 a Benfordův zákon předpovídá také 301. Lépe to snad ani sedět nemůže.

Viz také

• Logaritmy
• Základy statistiky
• Narozeninový paradox