✖

Doğum Günü Paradoksu

Bir sınıfta ya da doğum günü partisinde kaç kişi olmalı ki en az %50 olasılıkla doğum günü aynı güne denk gelen iki kişi bulunsun? Yıl bizi ilgilendirmiyor, yalnızca gün ve ay sayılıyor. Çoğu insanın sezgisi 183 civarında bir sayı söyler, yani yılın yarısı. Doğru cevap 23’tür.

Bu yalnızca görünüşte bir paradokstur. Ortada bir çelişki yok, sezgimiz bizi sadece tamamen yanlış yöne çekiyor.

Neden Bu Kadar Az?

Aynı doğum gününü sorduğumuzda çoğunlukla kendimizi düşünürüz: Doğum günü benimkiyle aynı olan biri var mı? Oysa soru başka bir şeyle ilgili. Benimle bir eşleşmeyi değil, gruptaki herhangi iki kişi arasındaki eşleşmeyi arıyoruz.

Üstelik bir grupta oluşan ikililerin sayısı insanın tahmin ettiğinden çok daha fazladır. 23 kişilik bir grupta her kişi diğer 22 kişiyle bir ikili oluşturabilir. Böylece 23 · 22 elde ederiz, ama her ikiliyi iki kez saymış olduk (Ayşe ile Mehmet’i de, Mehmet ile Ayşe’yi de); dolayısıyla ikililerin sayısı

23⋅222=253.

Bu, binom katsayısı (232) ile aynı sayıdır. Her ikili, eşleşme için bir şans demektir ve 253 deneme hiç de az değil.

Nasıl Hesaplanır?

Bir yılın 365 gün olduğunu varsayalım, 29 Şubat’ı dışarıda bırakalım ve her günün olasılığı eşit olsun. Doğum sayıları yıl boyunca aslında biraz değişir, ama bu sonucu neredeyse etkilemez.

En az iki kişinin doğum gününün çakıştığı durumu doğrudan hesaplamak zahmetli olurdu. Çakışan iki kişi olabilir, üç kişi olabilir, iki farklı ikili olabilir… Bu yüzden dolambaçlı bir yol izleyip tümleyen olaydan yararlanacağız: Herkesin doğum gününün farklı günlere denk gelme olasılığını hesaplayıp bunu 1’den çıkaracağız.

Üç kişiyle başlayalım. Birincinin doğum günü herhangi bir güne gelebilir, bu 365365 eder. İkincinin birinciden farklı bir güne denk gelmesi gerekir, bu yüzden ona 365 günden yalnızca 364’ü kalır. Üçüncü için dolu olan iki gün de elenir, seçebileceği 363 gün vardır. Olasılıkları çarparız:

365365⋅364365⋅363365≈0,9918

Üç kişiden ikisinin doğum gününün çakışma olasılığı 1 − 0,9918 = 0,0082 çıkar; bu da yüzde birden az bir değerdir.

23 kişide yöntem aynı, yalnızca kesirler daha fazla. Yirmi üçüncü kişinin seçebileceği 365 − 22 = 343 gün vardır:

365365⋅364365⋅363365⋅…⋅343365≈0,4927

Yaklaşık 0,4927 olasılıkla herkesin doğum günü farklı günlere denk gelir. Bunu 1’den çıkarırız:

1−0,4927=0,5073

23 kişiden en az ikisinin doğum gününün aynı güne denk gelme olasılığı yaklaşık %50,7’dir. 22 kişide bu olasılık hâlâ yalnızca %47,6’dır; yani 23, şansın yarıyı aştığı en küçük kişi sayısıdır.

Doğum günlerinin çakışma olasılığı P’nin kişi sayısı n’ye göre değişimi

Her yeni kişiyle olasılık hızla artar. 10 kişi için yaklaşık %12, 30 kişi için yaklaşık %71, 50 kişi için yaklaşık %97 çıkar; 70 kişide ise olasılık %99,9’un da üzerindedir. Sınıfta otuz çocuk oturuyorsa ve hiçbir ikisinin doğum günü aynı değilse bu, daha çok küçük bir şanstır.

Peki Ya Benim Doğum Günüm?

İnsanların aklına ilk gelen soruya dönelim: Aralarından en az birinin doğum günü benimkiyle aynı güne gelsin diye kaç kişi gerekir?

Burada hesap farklı yapılır. n kişinin her birinin doğum günü, diğerlerinden bağımsız olarak, 364365 olasılıkla benimkinden farklı bir güne denk gelir. Şunun sağlanmasını istiyoruz:

1−(364365)n≥12.

n = 252 için yaklaşık 0,4991 çıkar, bu henüz yetmez. n = 253 için yaklaşık 0,5005 çıkar, yani 253 kişiye ihtiyacımız var. Bu arada, 23 kişilik bir gruptaki ikili sayısı da tam olarak bu kadardır. Tamamen tesadüf değil: 253 ikili, eşleşme için 253 şans demektir, tıpkı benimle karşılaştırılan 253 kişi gibi. Ama sayının tam olarak aynı çıkması biraz şans eseridir. Ne var ki ikililer birbirini biraz etkiler; bu yüzden 23 kişide %50,05 değil, %50,7 çıkar.

Ayrıca Bak

Bölümler: Üç Kapı Problemi, Doğum Günü Paradoksu, Benford Yasası, Olasılıksal Yalancı Paradoksu, Kravat Paradoksu, Simpson Paradoksu, Yanlış Pozitif Paradoksu, St. Petersburg Paradoksu, Geçişken Olmayan Zarlar