Syntymäpäiväparadoksi

Kuinka monta ihmistä luokassa tai juhlissa on oltava, jotta vähintään 50 %:n todennäköisyydellä löytyy kaksi, joiden syntymäpäivä on samana päivänä? Vuosi ei kiinnosta meitä, lasketaan vain päivä ja kuukausi. Useimmille ihmisille intuitio kuiskaa jotain 183:n tienoilla eli puolet vuodesta. Oikea vastaus on 23.

Paradoksi se on vain näennäisesti. Ristiriitaa siinä ei ole, intuitio vain vie meitä aivan väärään suuntaan.

Miksi niin vähän?

Kun kysymme samasta syntymäpäivästä, ajattelemme yleensä itseämme: onko kenelläkään sama syntymäpäivä kuin minulla? Kysymys osoittaa kuitenkin toisaalle. Emme etsi ihmistä, jolla on sama syntymäpäivä kuin minulla, vaan mitä tahansa kahta ryhmän jäsentä, joilla on sama syntymäpäivä.

Pareja ryhmässä syntyy paljon enemmän kuin voisi odottaa. 23 ihmisen ryhmässä jokainen voi muodostaa parin 22 muun kanssa. Siitä syntyy 23 · 22, mutta jokainen pari tuli näin laskettua kahdesti (Aino Pekan kanssa ja Pekka Ainon kanssa), joten pareja on

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Se on sama kuin binomikerroin $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$. Jokainen pari antaa yhden mahdollisuuden osumaan, ja 253 yritystä on jo aika paljon.

Miten se lasketaan

Oletetaan, että vuodessa on 365 päivää, 29. helmikuuta ei oteta huomioon ja jokainen päivä on yhtä todennäköinen. Syntyneiden määrät vaihtelevat vuoden aikana todellisuudessa hieman, mutta se ei juuri vaikuta tulokseen.

Laskea suoraan, milloin vähintään kaksi osuu yhteen, olisi työlästä. Yhteen voivat osua kaksi ihmistä, kolme, kaksi eri paria… Siksi kierrämme vastatapahtuman kautta: laskemme todennäköisyyden, että kaikilla on syntymäpäivä eri päivinä, ja vähennämme sen ykkösestä.

Aloitamme kolmesta ihmisestä. Ensimmäisellä voi olla syntymäpäivä mikä päivä tahansa, se on $\frac{365}{365}$. Toisen on osuttava eri päivään kuin ensimmäisen, joten hänelle jää vain 364 päivää 365:stä. Kolmannelta putoavat pois molemmat jo varatut päivät, hänellä on valittavana 363 päivää. Kerromme todennäköisyydet:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Todennäköisyys, että kahdella kolmesta ihmisestä on sama syntymäpäivä, on 1 − 0,9918 = 0,0082 eli alle prosentti.

23 ihmisen kohdalla menetelmä on sama, murtolukuja vain on enemmän. 23. ihmisellä on valittavanaan 365 − 22 = 343 päivää:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Noin 0,4927:n todennäköisyydellä kaikilla on syntymäpäivä eri päivinä. Vähennämme ykkösestä:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Todennäköisyys, että vähintään kahdella 23 ihmisestä on syntymäpäivä samana päivänä, on noin 50,7 %. 22 ihmisellä se on yhä vain 47,6 %, joten 23 on pienin määrä, jolla mahdollisuus ylittää puolet.

Jokaisen lisähenkilön myötä todennäköisyys nousee nopeasti. 10 ihmisellä se on noin 12 %, 30 ihmisellä noin 71 %, 50 ihmisellä noin 97 % ja 70 ihmisellä jo yli 99,9 %. Kun luokassa istuu kolmekymmentä lasta eikä kahdella heistä ole yhteistä syntymäpäivää, se on pikemminkin pientä tuuria.

Entä minun syntymäpäiväni?

Palataan kysymykseen, joka ihmisille tulee ensimmäisenä mieleen: kuinka monta ihmistä tarvitaan, jotta vähintään yhdellä heistä on syntymäpäivä samana päivänä kuin minulla?

Tässä lasketaan toisin. Jokaisella n ihmisestä on syntymäpäivä jonain muuna päivänä kuin minulla todennäköisyydellä $\frac{364}{365}$, ja se on riippumatonta muista. Haluamme, että

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Kun n = 252, tulos on noin 0,4991, mikä ei vielä riitä. Kun n = 253, tulos on noin 0,5005, joten tarvitsemme 253 ihmistä. Muuten täsmälleen sama määrä on myös parien lukumäärä 23 ihmisen ryhmässä. Aivan sattumaa se ei ole: 253 paria on 253 mahdollisuutta osumaan, samoin kuin 253 minuun verrattua ihmistä. Se, että tulos on täsmälleen sama luku, on kuitenkin jo hieman tuuria. Parit myös vaikuttavat hieman toisiinsa, ja siksi 23 ihmisellä tulos on 50,7 % eikä 50,05 %.

Katso myös

• Vastatapahtuma
• Todennäköisyys
• Kombinaatio
• Kolmen oven ongelma