Verjaardagsparadox

Hoeveel mensen moeten er in een klas of op een feestje zijn om met een kans van minstens 50% twee mensen te vinden die op dezelfde dag jarig zijn? Het jaar interesseert ons niet, alleen dag en maand tellen. Bij de meeste mensen fluistert de intuïtie iets rond 183, dus een half jaar. Het juiste antwoord is 23.

Een paradox is het maar op het eerste gezicht. Er zit geen tegenspraak in, onze intuïtie trekt ons alleen helemaal de verkeerde kant op.

Waarom zo weinig?

Bij de vraag naar dezelfde verjaardag denken we meestal aan onszelf: is er iemand die op dezelfde dag jarig is als ik? De vraag richt zich echter op iets anders. We zoeken geen overeenkomst met mij, maar een overeenkomst tussen twee willekeurige mensen in de groep.

Het aantal paren dat in een groep ontstaat, is veel groter dan je zou verwachten. In een groep van 23 mensen kan iedereen een paar vormen met 22 anderen. Zo ontstaat 23 · 22, maar elk paar hebben we dan twee keer geteld (Emma met Daan en Daan met Emma), dus het aantal paren is

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Dat is hetzelfde als de binomiaalcoëfficiënt $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$. Elk paar geeft één kans op een overeenkomst en 253 pogingen is al heel wat.

Hoe bereken je het

Stel dat een jaar 365 dagen heeft, we laten 29 februari weg en elke dag is even waarschijnlijk. Het aantal geboorten verschilt in werkelijkheid een beetje door het jaar heen, maar dat beïnvloedt het resultaat nauwelijks.

Direct berekenen wanneer minstens twee mensen op dezelfde dag jarig zijn, zou een heidens karwei zijn. Twee mensen kunnen overeenkomen, drie, twee verschillende paren… We gaan daarom via een omweg met de complementaire gebeurtenis: we berekenen de kans dat iedereen op een andere dag jarig is en trekken die van één af.

We beginnen met drie mensen. De eerste kan op elke dag jarig zijn, dat is $\frac{365}{365}$. De tweede moet op een andere dag jarig zijn dan de eerste, dus voor hem blijven maar 364 van de 365 dagen over. Voor de derde vallen beide al bezette dagen af, hij kan kiezen uit 363 dagen. We vermenigvuldigen de kansen:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

De kans dat twee van de drie mensen op dezelfde dag jarig zijn, komt dus uit op 1 − 0,9918 = 0,0082, en dat is nog geen één procent.

Bij 23 mensen is de werkwijze hetzelfde, er zijn alleen meer breuken. De drieëntwintigste persoon kan kiezen uit 365 − 22 = 343 dagen:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Met een kans van ongeveer 0,4927 zijn alle mensen op een andere dag jarig. We trekken af van één:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

De kans dat minstens twee van de 23 mensen op dezelfde dag jarig zijn, is dus ongeveer 50,7%. Bij 22 mensen is het nog maar 47,6%, en 23 is dus het kleinste aantal waarbij de kans boven de helft komt.

Met elke extra persoon stijgt de kans snel. Voor 10 mensen komt er ongeveer 12% uit, voor 30 ongeveer 71%, voor 50 ongeveer 97% en voor 70 al meer dan 99,9%. Als er in een klas dertig kinderen zitten en geen twee van hen op dezelfde dag jarig zijn, is dat eerder een beetje geluk.

En mijn verjaardag?

Laten we terugkeren naar de vraag die mensen als eerste invalt: hoeveel mensen zijn er nodig om te zorgen dat minstens één van hen op dezelfde dag jarig is als ik?

Hier reken je anders. Elk van de n mensen is op een andere dag jarig dan ik met kans $\frac{364}{365}$, en dat onafhankelijk van de anderen. We willen dat

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Voor n = 252 komt er ongeveer 0,4991 uit, en dat is nog niet genoeg. Voor n = 253 komt er ongeveer 0,5005 uit, dus we hebben 253 mensen nodig. Overigens is dat precies het aantal paren in een groep van 23 mensen. Helemaal toeval is dat niet: 253 paren zijn 253 kansen op een overeenkomst, net als 253 mensen die met mij worden vergeleken. Dat er precies hetzelfde getal uitkomt, is echter wel een beetje geluk. De paren beïnvloeden elkaar namelijk een beetje, en daarom komt er bij 23 mensen 50,7% uit en niet 50,05%.

Zie ook

• Complementaire gebeurtenis
• Kans
• Combinaties
• Het driedeurenprobleem