Paradosso del compleanno
Quante persone devono esserci in una classe o a una festa perché con una probabilità di almeno il 50% ce ne siano due che compiono gli anni lo stesso giorno? L’anno non ci interessa, conta solo il giorno e il mese. L’intuito suggerisce alla maggior parte delle persone qualcosa intorno a 183, cioè metà dell’anno. La risposta corretta è 23.
È un paradosso solo in apparenza. Non c’è nessuna contraddizione, è solo l’intuito che ci porta nella direzione sbagliata.
Perché così poche?
Quando ci chiediamo chi compie gli anni lo stesso giorno, di solito pensiamo a noi stessi: c’è qualcuno che compie gli anni come me? Ma la domanda è un’altra. Non cerchiamo una coincidenza con me, ma una coincidenza tra due persone qualsiasi del gruppo.
Le coppie che si formano in un gruppo sono molte di più di quanto ci si aspetti. In un gruppo di 23 persone ognuno può formare una coppia con altre 22. Si ottiene così 23 · 22, ma ogni coppia è stata contata due volte (Giulia con Marco e Marco con Giulia), quindi le coppie sono
È la stessa cosa del coefficiente binomiale
Come si calcola
Supponiamo che l’anno abbia 365 giorni (trascuriamo il 29 febbraio) e che ogni giorno sia ugualmente probabile. In realtà il numero di nati varia leggermente nel corso dell’anno, ma il risultato ne risente appena.
Calcolare direttamente il caso in cui coincidono almeno due compleanni sarebbe una fatica. Possono coincidere due persone, tre, due coppie diverse… Procediamo quindi per via indiretta, con l’evento complementare: calcoliamo la probabilità che tutti compiano gli anni in giorni diversi e la sottraiamo da uno.
Cominciamo con tre persone. La prima può compiere gli anni un giorno qualsiasi, cioè
La probabilità che due persone su tre coincidano risulta 1 − 0,9918 = 0,0082, cioè meno dell’1%.
Con 23 persone il procedimento è lo stesso, ci sono solo più frazioni. La ventitreesima persona può scegliere tra 365 − 22 = 343 giorni:
Con probabilità di circa 0,4927 tutti compiono gli anni in giorni diversi. Sottraiamo da uno:
La probabilità che almeno due persone su 23 compiano gli anni lo stesso giorno è di circa il 50,7%. Con 22 persone è ancora solo il 47,6%, quindi 23 è il numero minimo per cui la probabilità supera la metà.
Con ogni persona in più la probabilità cresce rapidamente. Per 10 persone risulta circa il 12%, per 30 circa il 71%, per 50 circa il 97% e per 70 più del 99,9%. Se in una classe di trenta ragazzi non ce ne sono due che compiono gli anni lo stesso giorno, è piuttosto una piccola fortuna.
E il mio compleanno?
Torniamo alla domanda che viene in mente per prima: quante persone servono perché almeno una di loro compia gli anni lo stesso giorno in cui li compio io?
Qui il calcolo è diverso. Ognuna delle n persone compie gli anni in un giorno diverso dal mio con probabilità
Per n = 252 risulta circa 0,4991, il che non basta ancora. Per n = 253 risulta circa 0,5005, quindi servono 253 persone. Tra l’altro, è esattamente il numero di coppie in un gruppo di 23 persone. Non è del tutto un caso: 253 coppie sono 253 possibilità di coincidenza, proprio come 253 persone confrontate con me. Che esca esattamente lo stesso numero è però un po’ di fortuna. D’altra parte le coppie si influenzano un po’ a vicenda, ed è per questo che con 23 persone risulta il 50,7% e non il 50,05%.
Vedi anche
Capitoli: Problema di Monty Hall, Paradosso del compleanno, Legge di Benford, Paradosso del mentitore probabilistico, Paradosso delle cravatte, Paradosso di Simpson, Paradosso del falso positivo, Paradosso di San Pietroburgo, Dadi non transitivi
