✖

Születésnap-paradoxon

Hány embernek kell lennie egy osztályban vagy egy bulin ahhoz, hogy legalább 50%-os valószínűséggel akadjon köztük két olyan, akinek ugyanazon a napon van a születésnapja? Az évszám nem érdekel minket, csak a hónap és a nap számít. A legtöbb embernek a megérzése valahol 183 körüli számot súg, vagyis az év felét. A helyes válasz: 23.

Paradoxon ez csak látszólag. Nincs benne ellentmondás, csak a megérzésünk visz teljesen rossz irányba.

Miért ilyen kevés?

Amikor azonos születésnapról kérdezünk, többnyire magunkra gondolunk: van-e valakinek ugyanakkor a születésnapja, mint nekem? A kérdés azonban másra irányul. Nem velem keresünk egyezést, hanem egyezést a csoport bármely két tagja között.

A csoportban pedig sokkal több pár keletkezik, mint gondolnánk. Egy 23 fős csoportban mindenki párt alkothat a másik 22 emberrel. Így 23 · 22 pár jön ki, de minden párt kétszer számoltunk meg (Annát Péterrel és Pétert Annával is), ezért a párok száma

23⋅222=253.

Ez ugyanaz, mint a binomiális együttható (232). Minden pár egy esélyt jelent az egyezésre, és 253 próbálkozás már elég sok.

Hogyan számoljuk ki?

Tegyük fel, hogy az évnek 365 napja van, a február 29-ét kihagyjuk, és minden nap egyformán valószínű. A születések száma az év során valójában kissé ingadozik, de ez az eredményt alig befolyásolja.

Közvetlenül kiszámolni, mikor egyezik meg legalább két ember születésnapja, nagy fáradság lenne. Megegyezhet két ember, három, két különböző pár… Ezért kerülő úton, a komplementer eseményen keresztül haladunk: kiszámoljuk annak a valószínűségét, hogy mindenkinek különböző napra esik a születésnapja, és ezt kivonjuk 1-ből.

Kezdjük három emberrel. Az első bármelyik napon születhetett, ez 365365. A második embernek az elsőtől eltérő napra kell esnie, ezért neki csak 364 nap marad a 365-ből. A harmadiknál mindkét már foglalt nap kiesik, így 363 napból választhat. A valószínűségeket összeszorozzuk:

365365⋅364365⋅363365≈0,9918

Annak a valószínűsége, hogy a három ember közül kettőnek megegyezik a születésnapja, tehát 1 − 0,9918 = 0,0082, ami még az egy százalékot sem éri el.

23 embernél az eljárás ugyanez, csak több a tört. A huszonharmadik embernek 365 − 22 = 343 nap közül kell választania:

365365⋅364365⋅363365⋅…⋅343365≈0,4927

Körülbelül 0,4927 valószínűséggel mindenkinek más napon van a születésnapja. Ezt kivonjuk 1-ből:

1−0,4927=0,5073

Annak a valószínűsége, hogy a 23 ember közül legalább kettőnek ugyanazon a napon van a születésnapja, körülbelül 50,7%. 22 embernél ez még csak 47,6%, tehát a 23 a legkisebb létszám, amelynél az esély meghaladja az 50%-ot.

A P születésnap-egyezési valószínűség az n létszám függvényében

Minden további emberrel a valószínűség gyorsan nő. 10 embernél körülbelül 12%, 30 embernél körülbelül 71%, 50 embernél körülbelül 97%, 70 embernél pedig már több mint 99,9%. Ha egy osztályban harminc gyerek ül, és közülük senkinek sincs közös a születésnapja, az inkább egy kis szerencse.

És mi a helyzet az én születésnapommal?

Térjünk vissza a kérdésre, amely az embereknek elsőként eszébe jut: hány ember kell ahhoz, hogy legalább egyiküknek ugyanazon a napon legyen a születésnapja, mint nekem?

Ezt másképp kell kiszámolni. Az n ember mindegyikének 364365 valószínűséggel más napra esik a születésnapja, mint nekem, méghozzá a többiektől függetlenül. Azt szeretnénk, hogy

1−(364365)n≥12.

n = 252 esetén körülbelül 0,4991 jön ki, ami még nem elég. n = 253 esetén körülbelül 0,5005, tehát 253 emberre van szükségünk. Mellesleg pontosan ennyi a párok száma egy 23 fős csoportban. Teljesen véletlen ez nem: 253 pár 253 esélyt jelent az egyezésre, éppúgy, mint 253 hozzám hasonlított ember. Hogy pontosan ugyanaz a szám jön ki, abban viszont már van egy kis szerencse. Csakhogy a párok némileg befolyásolják egymást, ezért jön ki 23 embernél 50,7%, nem pedig 50,05%.

Lásd még

Fejezetek: A Monty Hall-paradoxon, Születésnap-paradoxon, Benford-törvény, Valószínűségi hazug-paradoxon, A nyakkendőparadoxon, Simpson-paradoxon, Az orvosi paradoxon, A szentpétervári paradoxon, Nemtranzitív dobókockák