Paradoxe des anniversaires
Combien de personnes faut-il dans une classe ou à une fête pour que, avec une probabilité d’au moins 50 %, deux d’entre elles aient leur anniversaire le même jour ? L’année ne nous intéresse pas, on ne compte que le jour et le mois. La plupart des gens ont l’intuition d’un nombre voisin de 183, soit la moitié de l’année. La bonne réponse est 23.
Le paradoxe n’est qu’apparent. Il n’y a aucune contradiction là-dedans, c’est seulement notre intuition qui nous entraîne dans la mauvaise direction.
Pourquoi si peu ?
Quand on pense à la question des anniversaires identiques, on pense en général à soi-même : quelqu’un a-t-il le même anniversaire que moi ? Mais la question vise autre chose. Nous ne cherchons pas une coïncidence avec moi, mais une coïncidence entre deux personnes quelconques du groupe.
Il se forme d’ailleurs beaucoup plus de paires dans un groupe qu’on ne le croirait. Dans un groupe de 23 personnes, chacune peut former une paire avec les 22 autres. On obtient donc 23 · 22, mais chaque paire a été comptée deux fois (Léa avec Lucas, et Lucas avec Léa), donc le nombre de paires est
C’est la même chose que le coefficient binomial
Comment calcule-t-on cela ?
Supposons qu’une année compte 365 jours, que l’on ne tient pas compte du 29 février, et que chaque jour a la même probabilité. Dans les faits, le nombre de naissances varie légèrement au cours de l’année, mais le résultat s’en trouve à peine modifié.
Calculer directement les cas où deux personnes au moins coïncident serait fastidieux : deux personnes peuvent coïncider, trois, deux paires différentes… Nous allons donc faire un détour par l’événement contraire : nous calculons la probabilité que tout le monde ait son anniversaire un jour différent, puis nous la soustrayons de un.
Commençons par trois personnes. La première peut avoir son anniversaire n’importe quel jour, c’est
La probabilité que deux personnes sur trois coïncident est donc 1 − 0,9918 = 0,0082, soit un peu moins d’un pour cent.
Pour 23 personnes, le procédé est le même, il y a simplement plus de fractions. La vingt-troisième personne a 365 − 22 = 343 jours au choix :
Avec une probabilité d’environ 0,4927, tout le monde a son anniversaire un jour différent. On soustrait de un :
La probabilité qu’au moins deux personnes sur 23 aient leur anniversaire le même jour est d’environ 50,7 %. Pour 22 personnes, ce n’est encore que 47,6 %, donc 23 est le plus petit nombre pour lequel la probabilité dépasse la moitié.
Avec chaque personne supplémentaire, la probabilité augmente rapidement. Pour 10 personnes, on obtient environ 12 %, pour 30 environ 71 %, pour 50 environ 97 % et pour 70 déjà plus de 99,9 %. Quand trente enfants sont assis dans une classe et qu’aucun d’eux ne partage son anniversaire avec un autre, c’est plutôt un coup de chance.
Et mon anniversaire ?
Revenons à la question qui vient le plus spontanément : combien de personnes faut-il pour qu’au moins l’une d’elles ait son anniversaire le même jour que moi ?
Ici, le calcul se fait autrement. Chacune des n personnes a son anniversaire à un autre jour que le mien avec une probabilité
Pour n = 252, on obtient environ 0,4991, ce qui ne suffit pas encore. Pour n = 253, on obtient environ 0,5005, il faut donc 253 personnes. D’ailleurs, c’est exactement le nombre de paires dans un groupe de 23 personnes. Ce n’est pas tout à fait un hasard : 253 paires représentent 253 chances de coïncidence, tout comme 253 personnes comparées à moi. Que le nombre tombe exactement juste relève toutefois un peu de la chance. Les paires s’influencent par ailleurs un peu entre elles, et c’est pourquoi on obtient 50,7 % pour 23 personnes et non 50,05 %.
Voir aussi
Chapitres: Problème de Monty Hall, Paradoxe des anniversaires, Loi de Benford, Paradoxe probabiliste du menteur, Paradoxe de la cravate, Paradoxe de Simpson, Paradoxe médical, Paradoxe de Saint-Pétersbourg, Dés non transitifs
