Парадокс днів народження

Скільки людей має бути в класі або на святі, щоб із ймовірністю щонайменше 50 % знайшлися двоє, у яких день народження припадає на один день? Рік нас не цікавить, враховуємо лише день і місяць. Більшості людей інтуїція підказує щось близько 183, тобто половину року. Правильна відповідь — 23.

Парадоксом це здається лише на перший погляд. Жодної суперечності тут немає, просто інтуїція веде нас у зовсім хибному напрямку.

Чому так мало?

Коли питають про однаковий день народження, ми зазвичай думаємо про себе: чи є хтось, у кого день народження той самий, що й у мене? Але питання про інше. Ми шукаємо не збіг зі мною, а збіг між будь-якими двома людьми в групі.

Пар у групі виникає набагато більше, ніж можна очікувати. У групі з 23 людей кожен може утворити пару з 22 іншими. Так виходить 23 · 22, проте кожну пару ми порахували двічі (Олену з Петром і Петра з Оленою), тож кількість пар дорівнює

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Це те саме, що біноміальний коефіцієнт $C_{23}^2$. Кожна пара дає один шанс на збіг, а 253 спроби — це вже чимало.

Як це обчислити

Припустімо, що в році 365 днів, 29 лютого пропускаємо, а кожен день однаково ймовірний. Кількість народжених протягом року насправді трохи різниться, але на результат це майже не впливає.

Рахувати напряму, коли збігаються принаймні двоє, було б важко. Збігатися можуть двоє людей, троє, дві різні пари… Тому підемо обхідним шляхом через протилежну подію: обчислимо ймовірність, що в усіх дні народження різні, і віднімемо її від одиниці.

Почнімо з трьох людей. Перший може народитися в будь-який день, це $\frac{365}{365}$. Другий має потрапити на інший день, ніж перший, тому йому лишається лише 364 дні з 365. У третього відпадають обидва вже зайняті дні, тож для вибору є 363 дні. Імовірності перемножимо:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Ймовірність того, що двоє з трьох людей мають спільний день народження, виходить 1 − 0,9918 = 0,0082, а це менше за один відсоток.

Для 23 людей міркування таке саме, дробів лише більше. Двадцять третя людина має на вибір 365 − 22 = 343 дні:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Із ймовірністю приблизно 0,4927 в усіх дні народження різні. Віднімемо від одиниці:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Ймовірність того, що принаймні у двох із 23 людей день народження припадає на один день, становить приблизно 50,7 %. Для 22 людей вона все ще лише 47,6 %, тож 23 — найменша кількість, за якої шанс перевищує половину.

З кожною наступною людиною ймовірність швидко зростає. Для 10 людей виходить приблизно 12 %, для 30 — приблизно 71 %, для 50 — приблизно 97 %, а для 70 — уже понад 99,9 %. Якщо в класі сидить тридцятеро дітей і жодні двоє не мають спільного дня народження, то це радше невелике везіння.

А що з моїм днем народження?

Повернімося до питання, яке спадає людям на думку першим: скільки людей потрібно, щоб принаймні в однієї з них день народження збігався з моїм?

Тут рахують інакше. Кожна з n людей має день народження в інший день, ніж я, з імовірністю $\frac{364}{365}$, причому незалежно від інших. Хочемо, щоб

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Для n = 252 виходить приблизно 0,4991, цього ще не досить. Для n = 253 виходить приблизно 0,5005, тож потрібно 253 людини. До речі, рівно стільки ж і пар у групі з 23 людей. Це не зовсім випадковість: 253 пари — це 253 шанси на збіг, так само як 253 людини, яких порівнюють зі мною. Проте те, що виходить точно те саме число, — це вже трохи везіння. Втім, пари трохи впливають одна на одну, і саме тому для 23 людей виходить 50,7 %, а не 50,05 %.

Дивись також

• Протилежна подія
• Ймовірність
• Комбінації
• Задача про три двері